循環小數

循環小數

	1
	7

=0.142857142857…

循環小數，是從小數部分的某一位起，一個數字或幾個數字，依次不斷地重複出現的小數。可分為有限循環小數和無限循環小數。

定義

循環小數都為有理數的小數表示形式，例：

${5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots=1.25\overline{0}=1.24999999\cdots=1.24\overline{9}$

${1 \over 3}=0.3333333\cdots=0.\overline{3}$

${1 \over 7}=0.{\color{red}142857}{\color{blue}142857}\cdots=0.\overline{142857}$

性質

• 一個分母為N的循環小數的循環節位數最多不超過N-1位。
• 根據分數$\frac{b}{a}$的情況分開討論

1.除數a為$2^m\times 5^n\times K$的倍數時，$b\div a$有max(m,n)個不循環位數，其中$b$為任意自然數，$K$為非$2^m,5^n$之其他數。

2.如果$1 \leqslant b < a$，a不是2或5的倍數，並且a與b互質，那麼存在一個正整數e，e為$b\div a$的循環節位數，而e=$\operatorname{min}\left \{ e\in \mathbb{N}:10^e\equiv 1 \pmod{a} \right \}$。

$10^e \equiv 1 \pmod{a}$表示$10^e-1$可以整除a，或稱$10^e$與1同餘）

事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子:$\frac {10^d \times b}{a} = q +\frac {b}{a}$來看，$b>a$也成立，例如$\frac{2}{7}$與$\frac{9}{7}$，兩者循環小數一致，因為$\frac{8}{7}=1+\frac{1}{7}$，只差別在商，餘數皆為1(同餘)故成立。

3.承接以上兩點，當除數a可以質因數標準分解式表示成$(2^m\times 5^n)\times (P1^{S1}\times P2^{S2}\times$⋯$\times Pn^{Sn})$時，會有max(m,n)個不循環位數，和$E$個循環節位數。

其中，$P1^{S1}$, $P2^{S2}$,⋯,$Pn^{Sn}$分別各有e₁,e₂,...,e_n個循環節位數，存在一個最小公倍數$E=[$e₁,e₂,...,e_n$]$。

例：$\frac{11}{2^2\times3^2\times5^3\times7\times17}$的循環節個數？

答：前三位不循環（2 和 5 的最高次方為 3），循環節個數是 48（因為$3^2$的循環節位數為1，7的循環節位數為6，17的循環節位數為16，[1,6,16]=48）

化為分數的方法

1. 先看有幾位「非循環節位數（${\color{blue}n\,\!}$）」和「循環節位數（${\color{red}m\,\!}$）」，算出後，將${\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ {\color{red}m\,\!} \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ {\color{blue}n\,\!} \end{matrix}}$擺於「分母」。
2. 「分子」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字，將其減去「非循環節部分」，即$a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n$，詳細公式如下。
3. 公式：$0. a_1 a_2 a_3 \cdots a_{\color{blue}n\,\!} \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_{\color{red}m\,\!} }={{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {{\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ {\color{red}m\,\!} \end{matrix}}{\begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ {\color{blue}n\,\!} \end{matrix}}}}$
4. 原理：
   1. 令$x=0. a_1 a_2 a_3 \cdots a_n \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }$。
   2. 則$10^n x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n . \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }$──①式。
   3. $10^{n+m} x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m . \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }$──②式。
   4. ②－①⇒$\left( 10^{n+m}-10^n \right)x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n$。
   5. $\begin{align} x & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {10^{n+m}-10^n}} \\ & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {10^n\left( 10^m-1 \right)}} \\ & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {\begin{matrix} \underbrace{ 1000 \cdots 0 } \\ n \end{matrix}} \times {\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ m \end{matrix}}} \\ & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {{\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ m \end{matrix}}{\begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ n \end{matrix}}}} \\ \end{align}$。
5. 範例：$0.1 \overline{23} = \frac{123-1}{990} = \frac{61}{495}$。
   1. 令$x = 0.1 \overline{23}$
   2. 則$10x = 1 . \overline{23}$、$1000x = 123 . \overline{23}$
   3. 兩式相減得$\left( 1000-10 \right)x = 123-1$，$990x = 122\,\!$
   4. ∴$x = \frac{61}{495}$。

計算方法

利用短除法可以將分數(有理數，$\mathbb{Q}$)轉化為循環小數。

例如$\frac{3}{7}$可以用短除法計算如下：

7|3.00000000000000000
  0.42857142857142857...

表示方法

在不同的國家地區對循環小數有不同的表示習慣。

• 使用「上橫線」表示，如：

${1 \over 70}=0.0\overline{142857}$

• 使用「上點」表示，如：

${1 \over 70}=0.0\dot{1}4285\dot{7}$

• 使用「大括號」表示，如：

${1 \over 70}=0.0\{142857\}$

缺點

不唯一性

使用循環小數表示有理數的缺點在於表示方式的不唯一性，例如$1.000000\cdots=1.\overline{0}=0.\overline{9}=0.999999\cdots$

與進位制系統密切相關

由於循環小數與進位制系統密切相關，使得一些簡單的有理數在循環小數表示法中的表示形式相當複雜。如：${1 \over 17}=0.{\color{red}0588235294117647}{\color{blue}0588235294117647}\cdots=0.\overline{0588235294117647}$

但在某些進位制當中反而因為循環節較短，使得看起來相當簡單。如${1 \over 17}={1 \over 11}_{(16)}=0.{\color{red}0F}{\color{blue}0F}\cdots_{(16)}=0.\overline{0F}_{(16)}$

參見

• 0.999…
• Midy定理