高斯整数是复数面上的整点。
高斯整数 是实数 和虚数 部分都是整数 的复数 。所有高斯整数组成了一个整域 ,写作
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbf{Z}[i]}
,是个不可以转成有序环 的欧几里得整环 。
Z
[
i
]
=
{
a
+
b
i
∣
a
,
b
∈
Z
}
{\displaystyle \mathbf{Z}[i] = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Z} \}}
高斯整数的范数 都是非负整数,定义为
N
(
z
w
)
=
N
(
z
)
N
(
w
)
{\displaystyle N(zw) = N(z)N(w)}
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbf{Z}[i]}
单位元
1
,
−
1
,
i
,
−
i
{\displaystyle 1, -1, i, -i}
的范数均为
1
{\displaystyle 1}
。
作为唯一分解整环
高斯整数形成了一个唯一分解整环 ,其可逆元 为
1
,
−
1
,
i
,
−
i
{\displaystyle 1, -1, i, -i}
。
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbf{Z}[i]}
的素元素 又称为高斯素数 。
高斯整数
a
+
b
i
{\displaystyle a + bi}
是素数当且仅当 :
a
,
b
{\displaystyle a, b}
中有一个是零,另一个是形为
4
n
+
3
{\displaystyle 4n + 3}
或其相反数
−
(
4
n
+
3
)
{\displaystyle -(4n + 3)}
的素数
或
a
,
b
{\displaystyle a, b}
均不为零,而
a
2
+
b
2
{\displaystyle a^2 + b^2}
为素数。
高斯素数的分布
以下给出这些条件的证明。
必要条件 的证明为:仅当高斯整数的范数是素数,或素数的平方时,它才是高斯素数。这是因为对于任何高斯整数
g
{\displaystyle g}
,
g
∣
g
g
¯
=
N
(
g
)
{\displaystyle g \mid g\overline{g} = N(g)}
。现在,
N
(
g
)
{\displaystyle N(g)}
是整数,因此根据算术基本定理 ,它可以分解为素数
p
1
p
2
⋯
p
n
{\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}
的乘积。根据素数的定义,如果
g
{\displaystyle g}
是素数,则它可以整除
p
i
{\displaystyle p_i}
,对于某个
i
{\displaystyle i}
。另外,
g
¯
{\displaystyle \overline{g}}
可以整除
p
i
¯
=
p
i
{\displaystyle \overline{p_i} = p_i}
,因此
N
(
g
)
=
g
g
¯
∣
p
i
2
{\displaystyle N(g) = g\overline{g} \mid p_{i}^{2}}
。于是现在只有两种选择:要么
g
{\displaystyle g}
的范数是素数,要么是素数的平方。
如果实际上对于某个素数
p
{\displaystyle p}
,有
N
(
g
)
=
p
2
{\displaystyle N(g) = p^2}
,那么
g
{\displaystyle g}
和
g
¯
{\displaystyle \overline{g}}
都能整除
p
2
{\displaystyle p^2}
。它们都不能是可逆元,因此
g
=
p
u
{\displaystyle g = pu}
,以及
g
¯
=
p
u
¯
{\displaystyle \overline{g} = p\overline{u}}
,其中
u
{\displaystyle u}
是可逆元。这就是说,要么
a
=
0
{\displaystyle a = 0}
,要么
b
=
0
{\displaystyle b = 0}
,其中
g
=
a
+
b
i
{\displaystyle g = a + bi}
。
然而,不是每一个素数
p
{\displaystyle p}
都是高斯素数。
2
{\displaystyle 2}
就不是高斯素数,因为
2
=
(
1
+
i
)
(
1
−
i
)
{\displaystyle 2 = (1 + i)(1 - i)}
。高斯素数不能是
4
n
+
1
{\displaystyle 4n + 1}
的形式,因为根据费马平方和定理 ,它们可以写成
a
2
+
b
2
{\displaystyle a^2 + b^2}
的形式,其中
a
{\displaystyle a}
和
b
{\displaystyle b}
是整数,且
a
2
+
b
2
=
(
a
+
b
i
)
(
a
−
b
i
)
{\displaystyle a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi)}
。剩下的就只有形为
4
n
+
3
{\displaystyle 4n + 3}
的素数了。
形为
4
n
+
3
{\displaystyle 4n + 3}
的素数也是高斯素数。假设
g
=
p
+
0
i
{\displaystyle g = p + 0i}
,其中
p
=
4
n
+
3
{\displaystyle p = 4n + 3}
是素数,且可以分解为
g
=
h
k
{\displaystyle g = hk}
。那么
p
2
=
N
(
g
)
=
N
(
h
)
N
(
k
)
{\displaystyle p^2 = N(g) = N(h)N(k)}
。如果这个分解是非平凡的,那么
N
(
h
)
=
N
(
k
)
=
p
{\displaystyle N(h) = N(k) = p}
。但是,任何两个平方数的和都不能写成
4
n
+
3
{\displaystyle 4n + 3}
的形式。因此分解一定是平凡的,所以
g
{\displaystyle g}
是高斯素数。
类似地,
i
{\displaystyle i}
乘以一个形为
4
n
+
3
{\displaystyle 4n + 3}
的素数也是高斯素数,但
i
{\displaystyle i}
乘以形为
4
n
+
1
{\displaystyle 4n + 1}
的素数则不是。
如果
g
{\displaystyle g}
是范数为素数的高斯整数,那么
g
{\displaystyle g}
是高斯素数。这是因为如果
g
=
h
k
{\displaystyle g = hk}
,那么
N
(
g
)
=
N
(
h
)
N
(
k
)
{\displaystyle N(g) = N(h)N(k)}
。由于
N
(
g
)
{\displaystyle N(g)}
是素数,因此
N
(
h
)
{\displaystyle N(h)}
或
N
(
k
)
{\displaystyle N(k)}
一定是1,所以
h
{\displaystyle h}
或
k
{\displaystyle k}
一定是可逆元。
作为整闭包
高斯整数环是
Z
{\displaystyle \mathbf{Z}}
在高斯有理数 域 中的整闭包 ,由实数部分和虚数部分都是有理数 的复数组成。
作为欧几里德环
在图中很容易看到,每一个复数 与最近的高斯整数的距离最多为
2
2
{\displaystyle \frac{\sqrt 2}{2}}
个单位。因此,
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbf{Z}[i]}
是一个欧几里德环 ,其中
v
(
z
)
=
N
(
z
)
{\displaystyle v(z) = N(z)}
。
未解决的问题
高斯圆问题 是中心为原点、半径为给定值的圆内有多少格点 的问题。它本身并不是关于高斯整数的,但等价于确定范数小于某个给定值的高斯整数的数目。
关于高斯整数,还有一些猜想和未解决的问题,例如:
实数轴和虚数轴含有无穷多个高斯素数
3
,
7
,
11
,
19
,
…
{\displaystyle 3, 7, 11, 19, \dots}
。在复平面上,还存在任何其它的直线上有无穷多个高斯素数吗?特别地,实数部分为
1
{\displaystyle 1}
的直线上存在无穷多个高斯素数吗?
在高斯素数上行走,步伐小于某个给定的值,可以走到无穷远吗?
参见
参考文献
C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-148.
从数到环:环论的早期历史 ,由Israel Kleiner所作 (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35)
Ribenboim, Paulo, The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, 1996, ISBN 0-387-94457-5