在数学 中，高斯圆问题 是确定在以原点 为中心并以r为半径 的圆中有多少个整数点 的问题。该数字与圆的面积 相近，因此，真正的问题是如何准确地限制描述点数与面积的差异。此问题的命名来自卡尔·弗里德里希·高斯 的名字。
问题 考虑
R
2
{\displaystyle \mathbb{R}^2}
r
≥
0
{\displaystyle r\ge 0}
(
m
,
n
)
{\displaystyle (m,n)}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
方程式 是在笛卡尔坐标系 中给出的
x
2
+
y
2
=
r
2
{\displaystyle x^2+y^2= r^2}
等价 于询问有多少对整数 m和n使得
m
2
+
n
2
≤
r
2
.
{\displaystyle m^2+n^2\leq r^2.}
如果给定答案
r
{\displaystyle r}
N
(
r
)
{\displaystyle N(r)}
N
(
r
)
{\displaystyle N(r)}
r
{\displaystyle r}
π
r
2
{\displaystyle \pi r^2 }
四舍五入 到最接近的整数 ：
1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 （OEIS中的数列A000328）
0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 （OEIS中的数列A075726） 解决方案和猜想的上下界
N
(
r
)
{\displaystyle N(r)}
π
r
2
{\displaystyle \pi r^2}
r
{\displaystyle r}
π
r
2
{\displaystyle \pi r^2}
N
(
r
)
=
π
r
2
+
E
(
r
)
{\displaystyle N(r)=\pi r^2 +E(r)\,}
对于某些错误项
E
(
r
)
{\displaystyle E(r)}
绝对值 。找到正确的上限
∣
E
(
r
)
∣
{\displaystyle \mid E(r)\mid}
r
{\displaystyle r}
N
(
4
)
=
49
{\displaystyle N(4)=49 }
N
(
17
)
=
57
,
N
(
18
)
=
61
,
N
(
20
)
=
69
,
N
(
5
)
=
81
.
{\displaystyle N(\sqrt{17})=57 ,N(\sqrt{18})=61, N(\sqrt{20})=69, N(5)=81 .}
E
(
r
)
{\displaystyle E(r)}
2
π
r
{\displaystyle 2 \pi r }
高斯设法证明[1]
|
E
(
r
)
|
≤
2
2
π
r
.
{\displaystyle | E(r) |\leq 2\sqrt{2}\pi r.}
Hardy [2]
|
E
(
r
)
|
≠
o
(
r
1
/
2
(
log
r
)
1
/
4
)
,
{\displaystyle | E(r) |\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),}
使用小的O表示法 。据推测[3]
|
E
(
r
)
|
=
O
(
r
1
/
2
+
ε
)
.
{\displaystyle | E(r) |=O\left(r^{1/2+\varepsilon}\right).}
写作
E
(
r
)
≤
C
r
t
{\displaystyle E(r)\le Cr^t}
t
{\displaystyle t}
1
2
<
t
≤
131
208
=
0.6298
…
,
{\displaystyle \frac{1}{2}< t\leq\frac{131}{208}=0.6298\ldots,}
1915年来自Hardy和Landau的下界 ， Huxley于2000年[4]
确切形式
N
(
r
)
{\displaystyle N(r)}
[5]
N
(
r
)
=
1
+
4
∑
i
=
0
∞
(
[
r
2
4
i
+
1
]
−
[
r
2
4
i
+
3
]
)
.
{\displaystyle N(r)=1+4\sum_{i=0}^\infty ([\frac{r^2}{4i+1}]-[\frac{r^2}{4i+3}]).}
这是雅可比二平方定理 的结果，该定理来自雅可比三重积。 [6]
如果将平方和函数
r
2
(
n
)
{\displaystyle r_2(n)}
n
{\displaystyle n}
平方 的总和，则可推出一个简单得多的和。因此[1]
N
(
r
)
=
∑
n
=
0
r
2
r
2
(
n
)
.
{\displaystyle N(r)=\sum_{n=0}^{r^2} r_2(n).}
Hardy首次发现了以下的最新成果： [7]
N
(
x
)
−
r
2
(
x
2
)
2
=
π
x
2
+
x
∑
n
=
1
∞
r
2
(
n
)
n
J
1
(
2
π
x
n
)
,
{\displaystyle N(x)-\frac {r_2(x^2)}2 = \pi x^2 + x \sum_{n=1}^\infty \frac {r_2(n)}{\sqrt {n}} J_1(2 \pi x \sqrt n), }
其中
J
1
{\displaystyle J_1}
贝塞尔函数 。
概论 尽管最初的问题要求在一个圆内的整数点个数，但没有理由不考虑其他形状，例如圆锥形。的确，狄利克雷（Dirichlet）的除数问题 是用矩形双曲线 替换圆的等价问题。同样，可以将问题从二维扩展到更高的维度 ，并在球体或其他物体中求整数。关于这些问题有大量文献。如果忽略几何学而仅将问题视为Diophantine不等式的代数之一，则可能会增加问题中出现的指数，从平方 到立方 ，甚至更高次方。
原始圆问题 另一个概括是计算互质 整数解 数量
m
,
n
{\displaystyle m,n}
不等式
m
2
+
n
2
≤
r
2
.
{\displaystyle m^2+n^2\leq r^2.\,}
此问题称为原始圆问题，因为它涉及搜索原始圆问题的原始解。可以直观地理解为在原点的欧几里得果园 中可见多少距离为r的树木的问题。如果表示此类解决方案的数量
V
(
r
)
{\displaystyle V(r)}
V
(
r
)
{\displaystyle V(r)}
r
{\displaystyle r}
0，4，8，16，32，48，72，88，120，152，192 （OEIS中的数列A175341） 使用与普通的高斯圆问题相同的方法，以及两个整数互质 的机率 为
6
/
π
2
{\displaystyle 6/\pi^2}
V
(
r
)
=
6
π
r
2
+
O
(
r
1
+
ε
)
.
{\displaystyle V(r)=\frac{6}{\pi}r^2+O(r^{1+\varepsilon}).}
与普通的圆问题一样，原始圆问题的问题部分在于减少误差项中的指数。如果假设黎曼猜想正确，目前最著名的指数是
221
/
304
+
ε
{\displaystyle 221/304+\varepsilon}
黎曼猜想 正确的情况下，最著名的上限 是
V
(
r
)
=
6
π
r
2
+
O
(
r
exp
(
−
c
(
log
r
)
3
/
5
(
log
log
r
2
)
−
1
/
5
)
)
{\displaystyle V(r)=\frac{6}{\pi}r^2+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log\log r^2)^{-1/5}))}
其中
c
{\displaystyle c}
[8] 黎曼猜想 正确的情况下，对于任何
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon>0}
1
−
ε
{\displaystyle 1-\varepsilon}
误差项 没有限制。
笔记
↑ 1.0 1.1 G.H. Hardy, Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, (1959), p.67.
↑ G.H. Hardy, On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares , Quart. J. Math. 46 , (1915), pp.263–283.
↑ R.K. Guy, Unsolved problems in number theory, Third edition , Springer, (2004), pp.365–366.
↑ M.N. Huxley, Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function , Number theory for the millennium, II (Urbana, IL, 2000) pp.275–290, A K Peters, Natick, MA, 2002, MR 1956254
↑ D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination , New York: Chelsea, (1999), pp.37–38.
↑ Hirschhorn, Michael D. Partial Fractions and Four Classical Theorems of Number Theory. The American Mathematical Monthly. 2000, 107 (3): 260–264. Bibcode:10.1.1.28.1615 JSTOR 2589321 doi:10.2307/2589321 ↑ Landau, Edmund. Vorlesungen über Zahlentheorie - 2. Band. Verlag S. Hirzel. 1927: 189. ↑ J. Wu, On the primitive circle problem , Monatsh. Math. 135 (2002), pp.69–81.
外部链接 
