共轭复数

复平面上$z$和它的共轭复数$\overline{z}$的表示。

在数学中，复数的共轭复数（常简称共轭）是对虚部变号的运算，因此一个复数$z = a + bi \quad (a, b \in \mathbb{R})$的共轭可以表示为：

$\overline{z} = a - bi$

举例明之：

$\overline{ { {3}-{2i} } } = 3+2i$

$\overline{ 7 } = 7$ （实数的共轭为自身）

$\overline{ i } = -i$ （纯虚数的共轭为其相反数）

在复数的极坐标表法下，复共轭写成

$\overline{re^{i \theta}} = re^{-i \theta}$

这点可以通过欧拉公式验证

将复数理解为复平面，则复共轭无非是对实轴的反射。复数$z$的复共轭有时也表为$z^*$。

性质

对于复数$z, w$：

$\begin{array}{l} \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \\ \overline{z - w} = \overline{z} - \overline{w} \\ \overline{zw} = \overline{z} \, \overline{w} \\ \overline{\left( \dfrac{z}{w} \right)} = \dfrac{\overline{z}}{\overline{w}} & (w \ne 0) \\ \overline{z} = z & (z \in \mathbb{R}) \\ \overline{z^n} = \overline{z}^n & (n \in \mathbb{Z}) \\ |\overline{z}| = |z| \\ |\overline{z}|^2 = z\overline{z} \\ \overline{(\overline{z})} = z \\ z^{-1} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^2} & (z \ne 0) \end{array}$

一般而言，如果复平面上的函数$\phi$能表为实系数幂级数，则有：

$\phi(\overline{z}) = \overline{\phi(z)}$

最直接的例子是多项式，由此可推得实系数多项式之复根必共轭。此外也可用于复指数函数与复对数函数（取定一分支）：

$\begin{array}{l} \exp(\overline{z}) = \overline{\exp(z)} \\ \log(\overline{z}) = \overline{\log(z)} & (z \neq 0) \end{array}$

其它观点

复共轭是复平面上的自同构，但是并非全纯函数。

记复共轭为$\tau$，则有$\operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R}) = \{ 1, \tau \}$。在代数数论中，惯于将复共轭设想为“无穷素数”的弗罗贝尼乌斯映射，有时记为$F_\infty$。