八元數

各式各樣的數

基本

$\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}$

正數 $\mathbb{R}^+$
自然數 $\mathbb{N}$
正整數 $\mathbb{Z}^+$
小數
 有限小數
 無限小數
 循環小數
 有理數 $\mathbb{Q}$
代數數 $\mathbb{A}$
實數 $\mathbb{R}$
複數 $\mathbb{C}$
高斯整數 $\mathbb{Z}[i]$

負數 $\mathbb{R}^-$
整數 $\mathbb{Z}$
負整數 $\mathbb{Z}^-$
分數
 單位分數
 二進分數
 規矩數
 無理數
 超越數
 虛數 $\mathbb{I}$
二次無理數
 艾森斯坦整數 $\mathbb{Z}[\omega]$

延伸

二元數
 四元數 $\mathbb{H}$
八元數 $\mathbb{O}$
十六元數 $\mathbb{S}$
超實數 $^*\mathbb{R}$
大實數
 上超實數

雙曲複數
 雙複數
 複四元數
 共四元數
 超複數
 超數
 超現實數

其他

質數 $\mathbb{P}$
可計算數
 基數
 阿列夫數
 同餘
 整數數列
 公稱值

規矩數
 可定義數
 序數
 超限數
 $p$ 進數
 數學常數

圓周率 $\pi = 3.141592653\dots$
自然對數的底 $e = 2.718281828\dots$
虛數單位 $i = \sqrt{-1}$
無窮大 $\infty$

八元數是四元數的一個非結合推廣，通常記為O，或 $\mathbb{O}$ 。

也許是因為八元數不提供一個結合性的乘法，它們比四元數引起較少的注意。儘管如此，八元數仍然與數學中的一些例外結構有關，其中包括例外李群。此外，八元數在諸如弦理論、狹義相對論和量子邏輯中也有應用。

歷史

八元數第一次被描述於1843年，於一封約翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中。後來八元數由阿瑟·凱萊在1845年獨自發表。阿瑟·凱萊發表的八元數和約翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中所提及的並無關係。

定義

八元數可以視為實數的八元組。每一個八元數都是單位八元數{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的線性組合。也就是說，每一個八元數x都可以寫成

x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl

其中係數x_a是實數。

八元數的加法是把對應的係數相加，就像複數和四元數一樣。根據線性，八元數的乘法完全由以下單位八元數的乘法表來決定。

1	i	j	k	l	il	jl	kl
i	−1	k	−j	il	−l	−kl	jl
j	−k	−1	i	jl	kl	−l	−il
k	j	−i	−1	kl	−jl	il	−l
l	−il	−jl	−kl	−1	i	j	k
il	l	−kl	jl	−i	−1	−k	j
jl	kl	l	−il	−j	k	−1	−i
kl	−jl	il	l	−k	−j	i	−1

凱萊-迪克松構造

一個更加系統的定義八元數的方法，是通過凱萊-迪克松構造。就像四元數可以用一對複數來定義一樣，八元數可以用一對四元數來定義。兩對四元數(a, b)和(c, d)的乘積定義為：

(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})

其中 $z^{*}$ 表示四元數z的共軛。這個定義與上面給出的定義是等價的。

法諾平面記憶

一個用來記憶八元數的乘積的方便辦法，由右面的圖給出。這個圖中有七個點和七條直線（經過i、j和k的圓也是一條直線），稱為法諾平面。這些直線是有向的。七個點對應於Im(O)的七個標準基元素。每一對不同的點位於唯一的一條直線上，而每一條直線正好通過三個點。

設(a, b, c)為位於一條給定的直線上的三個有序點，其順序由箭頭的方向指定。那麼，乘法由下式給出：

ab = c，ba = −c

以及它們的循環置換。這些規則與

1是乘法單位元，
對於圖中的每一個點，都有 $e^2=-1$

完全定義了八元數的乘法結構。七條直線的每一條都生成了O的一個子代數，與四元數H同構。

共軛、範數和逆元素

八元數

x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl

的共軛為：

x^* = x_0 - x_1\,i - x_2\,j - x_3\,k - x_4\,l - x_5\,il - x_6\,jl - x_7\,kl.

共軛是O的一個對合，滿足 $(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$ （注意次序的變化）。

x的實數部分定義為½(x + x^*) = x₀，虛數部分定義為½(x - x^*)。所有純虛的八元數生成了O的一個七維子空間，記為Im(O)。

八元數x的範數定義為：

\|x\| = \sqrt{x^{*} x}

在這裏，平方根是定義良好的，因為 $x^{*}x=xx^{*}$ 總是非負實數：

\|x\|^2 = x^{*}x = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2

這個範數與R⁸上的標準歐幾里得範數是一致的。

O上範數的存在，意味着O的所有非零元素都存在逆元素。x ≠ 0的逆元素為：

x^{-1} = \frac {x^*}{\|x\|^2}

它滿足 $xx^{-1}=x^{-1}x=1$ 。

性質

八元數的乘法既不是交換的：

ij = -ji \neq ji\,

也不是結合的：

(ij)l = -i(jl) \neq i(jl)\,

然而，八元數確實滿足結合性的一個較弱形式──交錯性。這就是說，由任何兩個元素所生成的子代數是結合的。實際上，我們可以證明，由O的任何兩個元素所生成的子代數都與R、C或H同構，它們都是結合的。由於八元數不滿足結合性，因此它們沒有矩陣的表示法，與四元數不一樣。

八元數確實保留了R、C和H共同擁有的一個重要的性質：O上的範數滿足

\|xy\| = \|x\|\|y\|

這意味着八元數形成了一個非結合的賦范可除代數。所有由凱萊-迪克松構造所定義的更高維代數都不滿足這個性質。它們都有零因子。

這樣，實數域上唯一的賦范可除代數是R、C、H和O。這四個代數也形成了實數域上唯一的交錯的、有限維的可除代數。

由於八元數不是結合的，因此O的非零元素不形成一個群。然而，它們形成一個擬群。

自同構

八元數的自同構A，是O的可逆線性變換，滿足：

A(xy) = A(x)A(y).\,

O的所有自同構的集合組成了一個群，稱為G₂。群G₂是一個單連通、緊緻、14維的實李群。這個群是例外李群中最小的一個。

參見

參考文獻

Baez, John, The Octonions, Bull. Amer. Math. Soc., 2002, 39: 145–205 [2008-12-01] . Online HTML version at https://web.archive.org/web/20081009232658/http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/.
Conway, John Horton; Smith, Derek A., On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, A. K. Peters, Ltd., 2003, ISBN 1-56881-134-9 . (Review).