併集

A和B的併集

在集合論和數學的其他分支中，一組集合的併集，是這些集合的所有元素構成的集合，而不包含其他元素。

基本定義

若$A$和$B$是集合，則$A$和$B$併集是有所有$A$的元素和所有$B$的元素，而沒有其他元素的集合。$A$和$B$的併集通常寫作"$A \cup B$"。形式上：

$x$是$A \cup B$的元素，若且唯若

• $x$是$A$的元素，或
• $x$是$B$的元素。

舉例： 集合$\{1, 2, 3\}$和$\{2, 3, 4\}$的併集是$\{1, 2, 3, 4\}$。數$9$不屬於素數集合$\{2, 3, 5, 7, 11,\ldots\}$和偶數集合$\{2, 4, 6, 8, 10,\ldots\}$的併集，因為$9$既不是素數，也不是偶數。

更通常的，多個集合的併集可以這樣定義： 例如，$A,B$和$C$的併集含有所有$A$的元素，所有$B$的元素和所有$C$的元素，而沒有其他元素。形式上：

$x$是$A \cup B \cup C$的元素，當且僅當$x$屬於$A$或$x$屬於$B$或$x$屬於$C$。

代數性質

二元併集（兩個集合的併集）是一種結合運算，即

$A \cup (B \cup C) =(A \cup B)\cup C$。事實上，$A \cup B \cup C$也等於這兩個集合，因此圓括號在僅進行併集運算的時候可以省略。

相似的，併集運算滿足交換律，即集合的順序任意。

空集是併集運算的單位元。即$\varnothing \cup A = A$，對任意集合$A$。可以將空集當作零個集合的併集。

結合交集和補集運算，併集運算使任意冪集成為布爾代數。例如，併集和交集相互滿足分配律，而且這三種運算滿足德·摩根律。若將併集運算換成對稱差運算，可以獲得相應的布爾環。

無限併集

最普遍的概念是：任意集合的併集。若 M 是一個集合的集合，若且唯若存在$M$的元素$A$滿足$x$是$A$的元素時, $x$是$M$的併集的元素。即：

$x \in \bigcup M \iff \exists A{\in} M , x \in A$。

$M$可以稱作集合的搜集（collection of sets）或者集合空間（system of sets）， $M$的併集是一個集合，這就是公理集合論中的聯集公理。

例如：$A \cup B \cup C$是集合$\{A,B,C\}$的併集。同時，若 $M$是空集， $M$的併集也是空集。有限併集的概念可以推廣到無限併集。

上述概念有多種表示方法：

集合論者簡單地寫

$\bigcup M$，

而大多數人會這樣寫

$\bigcup_{A\in M } A$。

後一種寫法可以推廣為

$\bigcup_{i\in I} A_{i}$，

表示集合$\{A_i \ : \ i \in I\} \$的併集。這裡$I$是一個集合，$A_{i}$是一個$i$屬於$I$的集合。

在索引集$I$是自然數集合的情況下，上述表示和求和類似：

$\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}$。

同樣，也可以寫作"$A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup \ldots$". （這是一個可數的集合的併集的例子，在數學分析中非常普遍；參見$\sigma$ -代數）。最後，要注意的是，當符號"$\cup$"放在其他符號之前，而不是之間的時候，要寫的大一些。

交集在無限併集中滿足分配律，即

$\bigcup_{i\in I}\left(A \cap B_{i}\right) = A \cap \bigcup_{i\in I} B_{i}$。

結合無限併集和無限交集的概念，可得

$\bigcup_{i\in I}\left(\bigcap_{j\in J} A_{i,j}\right) \subseteq \bigcap_{j\in J}\left(\bigcup_{i\in I} A_{i,j}\right)$。

參考

• 樸素集合論
• 交集
• 補集
• 對稱差
• 不交並
• 布爾邏輯