并集

A和B的并集

在集合论和数学的其他分支中，一组集合的并集，是这些集合的所有元素构成的集合，而不包含其他元素。

基本定义

若$A$和$B$是集合，则$A$和$B$并集是有所有$A$的元素和所有$B$的元素，而没有其他元素的集合。$A$和$B$的并集通常写作"$A \cup B$"。形式上：

$x$是$A \cup B$的元素，当且仅当

• $x$是$A$的元素，或
• $x$是$B$的元素。

举例： 集合$\{1, 2, 3\}$和$\{2, 3, 4\}$的并集是$\{1, 2, 3, 4\}$。数$9$不属于素数集合$\{2, 3, 5, 7, 11,\ldots\}$和偶数集合$\{2, 4, 6, 8, 10,\ldots\}$的并集，因为$9$既不是素数，也不是偶数。

更通常的，多个集合的并集可以这样定义： 例如，$A,B$和$C$的并集含有所有$A$的元素，所有$B$的元素和所有$C$的元素，而没有其他元素。形式上：

$x$是$A \cup B \cup C$的元素，当且仅当$x$属于$A$或$x$属于$B$或$x$属于$C$。

代数性质

二元并集（两个集合的并集）是一种结合运算，即

$A \cup (B \cup C) =(A \cup B)\cup C$。事实上，$A \cup B \cup C$也等于这两个集合，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。

相似的，并集运算满足交换律，即集合的顺序任意。

空集是并集运算的单位元。即$\varnothing \cup A = A$，对任意集合$A$。可以将空集当作零个集合的并集。

结合交集和补集运算，并集运算使任意幂集成为布尔代数。例如，并集和交集相互满足分配律，而且这三种运算满足德·摩根律。若将并集运算换成对称差运算，可以获得相应的布尔环。

无限并集

最普遍的概念是：任意集合的并集。若 M 是一个集合的集合，当且仅当存在$M$的元素$A$满足$x$是$A$的元素时, $x$是$M$的并集的元素。即：

$x \in \bigcup M \iff \exists A{\in} M , x \in A$。

$M$可以称作集合的搜集（collection of sets）或者集合空间（system of sets）， $M$的并集是一个集合，这就是公理集合论中的并集公理。

例如：$A \cup B \cup C$是集合$\{A,B,C\}$的并集。同时，若 $M$是空集， $M$的并集也是空集。有限并集的概念可以推广到无限并集。

上述概念有多种表示方法：

集合论者简单地写

$\bigcup M$，

而大多数人会这样写

$\bigcup_{A\in M } A$。

后一种写法可以推广为

$\bigcup_{i\in I} A_{i}$，

表示集合$\{A_i \ : \ i \in I\} \$的并集。这里$I$是一个集合，$A_{i}$是一个$i$属于$I$的集合。

在索引集$I$是自然数集合的情况下，上述表示和求和类似：

$\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}$。

同样，也可以写作"$A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup \ldots$". （这是一个可数的集合的并集的例子，在数学分析中非常普遍；参见$\sigma$ -代数）。最后，要注意的是，当符号"$\cup$"放在其他符号之前，而不是之间的时候，要写的大一些。

交集在无限并集中满足分配律，即

$\bigcup_{i\in I}\left(A \cap B_{i}\right) = A \cap \bigcup_{i\in I} B_{i}$。

结合无限并集和无限交集的概念，可得

$\bigcup_{i\in I}\left(\bigcap_{j\in J} A_{i,j}\right) \subseteq \bigcap_{j\in J}\left(\bigcup_{i\in I} A_{i,j}\right)$。

参考

• 朴素集合论
• 交集
• 补集
• 对称差
• 不交并
• 布尔逻辑