| 九章算术 | |
|---|---|
| 全名：九章算术 | |
| 其他名称 | 九章算經 |
| 作者 | 佚名 |
| 编者 | 魏 刘徽、 唐 李淳风、 宋 賈憲、 宋 杨輝、 清 李潢 |
| 类型 | 子部术数类 |
| 版本 | 宋嘉定鮑澣之刻本 |
| 成书年代 | 东汉 |
| 保存状态 | 篇数：九篇 卷數：九卷 |
| 收录于 | 《后汉书》 |
《九章算术》九卷，是现存最早的中国古代数学著作之一，《算经十书》中最重要的一种。其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的。在四库全书中为子部天文演算法算书类。
《九章算术》内容丰富，題材广泛，共九章，分为二百四十六題二百零二术，不但是汉代重要的数学著作[1]，在中国和世界数学史上也佔有重要的地位。作为中国古代数学的系统总结，对中国传统数学的发展有了深远的影響。
历史
根据研究，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内容在西汉后期已经基本定型。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是“九章”。
1984年，在湖北出土了《算数书》书简。据考证，它比《九章算术》要早一个半世纪以上，书中有些内容和《九章算术》非常相似，一些内容的文句也基本相同。有人推测两书具有某些继承关系[2]，但也有不同的看法认为《九章算术》没有直接受到《算数书》影响。
由于《九章算术》中只是列出了例子及一般的算法，卻很少有任何解释和說明，所以有很多人曾为《九章算术》作注，提出了简括的證明，證明了一些算法的正确性。较为著名的有在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》作注，加上自己的心得体会，使其便于被了解，而可以流传下来[2]。唐朝李淳风又重新做注（656年），《算经十书》之一[2]，也是国子监算学馆的教材和明算科的考试项目。
体例
《九章算术》共收有246个数学问题，分为九大类，在一个或几个问题之后，列出这个问题的解法。
- 方田章：主要是田亩面积的计算和分数的计算，是世界上最早对分数进行系统叙述的著作[2]。
- 粟米章：主要是粮食交易的计算方法，其中涉及许多比例问题[2]。
- 衰分章：主要内容为分配比例的算法[2]。
- 少广章：主要讲开平方和开立方的方法[2]。
- 商功章：主要是土石方和用工量等工程数学问题，以体积的计算为主[2]。
- 均输章：计算税收等更加复杂的比例问题[2]。
- 盈不足章：双设法的问题[2]。[3]
- 方程章：主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减法，在世界数学史上是第一次出现[2]。
- 勾股章：勾股定理的应用[2]。
内容
实数系统
《九章算术》对自然数即正整数及其运算沒有給予论述，但卻加以广泛应用，以自然数的基礎上編寫。雖然不是论述分数的专书，但是对于分数的意义、性質、四則运算论述完備。例如：合分术（加法）、減分术（減法）、乘分术（乘法）、經分术（除法）、课分术（比较大小）、约分术（简化分数）与平分术（平均数）[4]。
《九章算术》出现负数概念，方程章为了配合方程术的算法，給出正负数的加、減法則。減法为「同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之」。加法为「异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之」。其中「除」是減，「益」是加，「无入」是指沒有对方，不过乘除法并未記載[4]。
《九章算术》对自然数、分数、正负数以及一些特殊无理数給予一定的论述，基本上具備实数系统的雛形[4]。
比例与盈亏算法
粟米章所述今有术，即是四项比例算法，按术文「以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一」[4]。
今有术在《九章算术》应用非常广泛，为一种解題的基本算法。另一种常用的算法是衰分章的衰分术，为配分比例算法。其术文为：「各置列衰，副并为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一」[4]。
《九章算术》以列衰的倒数为列衰，称为反衰术。反衰术就是衰分术与反比例相结合的算分。而衰分术与反衰术相结合的算法，就是均輸章的均輸术。《九章算术》不但有正比例算法、而且还有反比例算法、复比例算法、连比例算法以及配分比例算法。這些算法都是以今有术为基礎，发展而匯集起来的各种算法[4]。
盈不足术是中国古代一种解算术难題的算法。一般算术应用題，都有确切答案。盈不足术为了推算答案，預先设立一个数字作为答案，依題目核算，若结果合問題，所设之数就是答案；若不合問，非盈即不足；通过两次假设，即可利用盈不足术求出答案。這类問題共有五种，即一盈一不足，两盈、两不足、一盈一適足、一不足一適足。《九章算术》則匯集這五种問題，并給出算法[4]。
盈不足章除了拥有算术应用問題外，还包括一些初等超越方程問題，用這种模式算法解出前一类問題得到确切解，用以解后一类問題則得近似解[4]。
求积与勾股
《九章算术》论述的几何图形，多为直线型和圓型的图形，根据算田畝的需要，《九章算术》论述方田、圭田、邪田、箕田、圓田、弧田、环田及宛圓的面积算法。另外由于土木建筑的需要，《九章算术》还有论述直线型立体和圓型立体图形的体积算法，這些体积算法的編排，由简单到复杂，形成獨特的理论体系[4]。
勾股计算，《九章算术》分为四类問題。有勾股互求、勾股整数、勾股两容、勾股相似[4]。
勾股互求，即是已知勾股的一般线段，推求其他线段。勾股整数，即是《九章算术》給出推求勾、股、弦，都是整数的算法。勾股两容，为推求勾股形内接正方形及内切圓的算法。勾股相似，为利用相似勾股形性質，进行简单测远、测高的算法[4]。
《九章算术》对几何問題的处理，分为三部分，有体积算法、面积算法、线段算法，分別隸属于商功、方田、勾股三章[4]。
开方与方程
《九章算术》列出的平方术、开立方术以及线性方程組的解法，可以看作中国古代代数学的主要内容。《九章算术》記載的這些算法非常詳尽，經由這些论述，可以了解中国古代代数学发展的成果[4]。
开平方术、开立方术，不但可以解出二项二次方程、二项三次方程，而且可以解出一般的二次数值方程和三次数值方程。它是中国古代解出高次数值方程的基礎，在数学的发展也有重要地位[4]。
方程章所论「方程」，地位相当于今天线性方程組。所论「方程术」，为所謂「直除法」。「直除」是连续相減的意思或累減的意思，「直除法」为连续相減消元法，在理论上、算法上与今天加減消元完全一样[4]。
在方程章所列十八題中，有的相当于二元一次方程組，有的相当于三元一次方程組，也有的相当于五元一次方程組。其中第十三題为：「今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮。問井深，綆长各几何」。所問是六个未知数之值，依題意只能列出五个一次方程，可见這是世界上最早的一次不定方程組[4]。
影響
《九章算术》总结了自先秦以来的中国古代数学，它既包含了以前已经解决了的数学问题，又有汉朝时新发现的数学成就。一般认为，它在数学史上，标志着中国古代数学体系的形成，是中国古代数学体系的初期代表作[4]。
《九章算术》問世之前的中国先秦典籍中，記錄了不少数学知識，但是卻沒有《九章算术》的系统论述，尤其是由易到难、由浅入深、從简单到复杂的編排体例，從而形成中国传统数学的理论体系。因而后世的中国数学家，都是從此开始学习和研究，唐、宋時，为国家明令规定的教科书，北宋時由政府刊刻，又是世界上最早的印刷本数学书[5]。
《九章算术》中有许多数学问题都是世界上记载最早的。例如，关于比例算法的问题，它和后来在16世纪西欧出现的三分律的算法一样。关于双设法的问题，在阿拉伯曾称为契丹算法，13世纪以后的欧洲数学著作中也有如此称呼的，这也是中国古代数学知识向西方传播的一个证据。
《九章算术》对中国古代的数学发展有很大影响，这种影响一直持续到了清朝中叶。《九章算术》的叙述方式以归纳为主，先给出若干例题，再给出解法，不同于西方以演绎为主的叙述方式，中国后来的数学著作也都是采用叙述方式为主。历代数学家有不少人曾经注释过这本书，其中以刘徽和李淳风的注释最有名。
《九章算术》隋、唐時，流传到了日本和朝鲜，对其古代的数学发展也产生了很大的影响，之后更远传到印度、阿拉伯和欧洲，现已译成日、俄、英、法和德等多种文字版本[5]。
译本
- 俄译本：«Математика в девяти книгах» / Перевод и примечания Э. И. Березкиной // Историко-математические исследования. 1957.
- 德译本：Chiu Chang Suan Shu, Neun Bucher Arithmetischer Technik, Ubersetzt von K.Vogel, F.Verlag 1968
- 英译本：The Nine Chapters on the Mathematical Art, Companion and Commentary Translated and edited by Shen Kangshen（沈康生）, John Crossley and Anthony Lun ISBN 978-0-19-853936-0, Oxford University Press
- 法译本：Chemla, Karine, and Shuchun Guo. . Les neuf chapitres: le classique mathmatique de la Chine ancienne et ses commentaires. 2004 Paris: Dunod.
- 日译本：川原秀城「刘徽注九章算术」（『中国天文学・数学集』所収、1980年11月、朝日出版社）
参考文献
引用
- ↑ 王子今. 第五篇〈天文历算之学〉. 《秦汉史—帝国的建立》. 2009: 346–348.
- ↑ 2.00 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07 2.08 2.09 2.10 2.11 胡世庆. 第二十六章第一节〈数学〉. 《中国文化通史》. 2009: 822–831.
- ↑ HPM通訊第七卷第一期 ，台师大数学系碩士班研究生 张復凯
- ↑ 4.00 4.01 4.02 4.03 4.04 4.05 4.06 4.07 4.08 4.09 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 地球社編輯部. 第七章第一节〈数学〉. 《中国文明史 第三卷 秦汉時代 中册》. 1992: 515–531.
- ↑ 5.0 5.1 龔书鐸. 第五十一章延伸知識〈《九章算术》总结先秦数学〉. 《图說秦汉》. 2009: 177.
来源
- 郭书春 译注 《九章算术》 上海古籍出版社 2009 ISBN 978-7-5325-5433-1