牟合方盖

牟合方盖是一种几何体，是两个等半径圆柱躺在平面上垂直相交的公共部分，因为像是两个方形的盖子合在一起，所以被称作“牟合方盖”。

阿基米德与祖冲之分别用不同方法计算出球体的体积是 $\frac{4}{3} \pi r^3$ ，r为圆柱半径。祖冲之使用的方法正是通过计算出牟合方盖的体积为 $\frac{16}{3} r^3$ ，从而推出了球体体积的计算公式。

初出

《九章算术》中曾认为，球体的外切圆柱体积与球体体积之比等于正方形与其内切圆面积之比。魏国数学家刘徽在他为《九章算术》作的注释中指出，原书的说法是不正确的，只有“牟合方盖”（垂直相交的两个圆柱体的共同部分的体积）与球体积之比，才正好等于正方形与其内切圆的面积之比，也就是：

球体积

:\,

牟合方盖体积

= \pi:4 \,

但刘徽没有给出牟合方盖的体积公式，所以也就得不出球体的体积公式。

一直到南北朝时，数学家祖冲之和其子祖暅之才另创新法求出牟合方盖与球体体积。他们的求法纪录在唐朝李淳风为九章算数作的注解中，留传至今。

（臣淳风等谨按：祖暅之谓刘徽、张衡二人皆以圆囷为方率，丸为圆率，乃设新法。）祖暅之开立圆术曰：以乘积开立方除之，即立圆径。其意何也？取立方棋一枚，令立枢于左后之下隅，从规去其右上之廉。又合而横规之，去其前上之廉。于是立方之棋分而为四，规内棋一，谓之内棋；规外棋三，谓之外棋。

在这一段说明的形状可以看做是一个 $\tfrac{1}{8}$ 的牟合方盖，外接一个立方体； $\tfrac{1}{8}$ 的牟合方盖即是“内棋”，立方体减去内棋的余部即为“外棋”。

更合四棋，复横断之。以勾股言之，令余高为勾，内棋断上方为股，本方之数，其弦也。勾股之法，以勾幂减弦幂，则余为股幂。若领余高自乘，减本方之幂，余即内棋横断上方之幂也。本方之幂，即外四棋之断上幂。然则余高自乘，即外三棋之断上幂矣。不问高卑，势皆然也。然固有所归同而途殊者尔。而乃控远以演类，借况以析微。

现在将内外棋横向切开。内棋的截面是正方形，可以用勾股弦定理求出其边长与圆半径的关系式。令圆半径（立方体边长）为 r，底面到截面的高为 h ，则正方形边长为 $\sqrt{r^2-h^2}$ ，面积为 $r^2-h^2$ ；也就是说外棋截面的面积为 $r^2-(r^2-h^2)=h^2$ 。

按阳马方高数参等者，倒而立之，横截去上，则高自乘与断上幂数，亦等蔫。夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。由此观之，规之外三棋旁蹙为一，即一阳马也。

现在以立方体的一个底面和底面以外的一个顶点作一个四角锥（这个形状称为阳马）。对阳马距离角锥h处横向切开，则截面是一个正方形，面积等于 $h^2$ 。

祖氏父子在此解释：所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等。这就是今天所称的“祖暅原理”。套用此定理，

外棋的截面积

=\,

阳马的截面积

=h^2\,

所以外棋体积也等于阳马体积。

三分立方，则阳马居一，内棋居二可知矣。合八小方成一大方，合八内棋成一合盖。内棋居小方三分之二，则合盖居立方矣三分之二，较然验矣。

《九章算术》中已有提到，阳马的体积等于其外接立方体的体积的 $\tfrac{1}{3}$ ^[1]，所以内棋的体积是立方体的 $\tfrac{2}{3}$ ，即 $\tfrac{2 r^3}{3}$ 。由于内棋是牟合方盖的 $\tfrac{1}{8}$ ，故牟合方盖的体积为

\frac{2}{3}\times 8 = \frac{16}{3} r^3

。

而球体体积即为

\frac{16}{3} r^3 \times \frac{\pi}{4} = \frac{4}{3} \pi r^3

。