杨辉三角形

《永乐大典》一页：杨辉引用贾宪《释锁算书》中的贾宪三角形

杨辉三角形，又称帕斯卡三角形、贾宪三角形、海亚姆三角形、巴斯卡三角形，是二项式系数的一种写法，形似三角形，在中国首现于南宋杨辉的《详解九章算法》得名，其在书中说明是引自贾宪的《释锁算书》，故又名贾宪三角形。前 9 行写出来如下：

　　　　　　　　１
　　　　　　　１　１
　　　　　　１　２　１
　　　　　１　３　３　１
　　　　１　４　６　４　１
　　　１　５　10　10　５　１
　　１　６　15　20　15　６　１
　１　７　21　35　35　21　７　１
１　８　28　56　70　56　28　８　１

杨辉三角形第 $n$ 层（顶层称第 0 层，第 1 行，第 $n$ 层即第 $n+1$ 行，此处 $n$ 为包含 0 在内的自然数）正好对应于二项式 $\left(a+b\right)^{n}$ 展开的系数。例如第二层 1 2 1 是幂指数为 2 的二项式 $\left(a+b\right)^{2}$ 展开形式 $a^{2}+2ab+b^{2}$ 的系数。

性质

每个数是它左上方和右上方的数的和

1. 杨辉三角形以正整数构成，数字左右对称，每行由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。
2. 杨辉三角形每一行的平方和在杨辉三角出现奇数次。
3. 杨辉三角形第2的幂行所有数都是奇数。
4. 第 $n$ 行的数字个数为 $n$ 个。
5. 第 $n$ 行的第 $k$ 个数字为组合数 $C_{k-1}^{n-1}$。
6. 第 $n$ 行数字和为 $2^{n-1}$。
7. 除每行最左侧与最右侧的数字以外，每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和（也就是说，第 $n$ 行第 $k$ 个数字等于第 $n-1$ 行的第 $k-1$ 个数字与第 $k$ 个数字的和）。这是因为有组合恒等式：$C_{k+1}^{n+1}=C_{k}^{n}+C_{k+1}^{n}$。可用此性质写出整个杨辉三角形。

历史

朱世杰《四元玉鉴》中的“古法七乘方图”

波斯数学家Al-Karaji和天文学家兼诗人欧玛尔·海亚姆（عمر خیام,Omar Khayyám）在10世纪都发现了这个三角形，而且还知道可以借助这个三角形找$n$次根，和它跟二项式的关系。但他们的著作已不存。

11世纪北宋数学家贾宪发明了贾宪三角，并发明了增乘方造表法，可以求任意高次方的展开式系数。贾宪还对贾宪三角表（古代称数字表为“立成”）的构造进行描述。贾宪的三角表图和文字描写，仍保存在大英博物馆所藏《永乐大典》卷一万六千三百四十四。

13世纪中国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》里解释这种形式的数表，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》。

1303年元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》卷首绘制《古法七乘方图》。

意大利人称之为“塔塔利亚三角形”（Triangolo di Tartaglia）以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。

布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕·棣莫弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。

历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家：

• Karaji 和 Omar Khayyám 波斯 10世纪（图文无存）
• 贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》 （图文现存大英博物馆所藏《永乐大典》）
• 杨辉 中国南宋 1261《详解九章算法》记载之功（图文现存大英博物馆所藏《永乐大典》）
• 朱世杰 中国元朝 1299《四元玉鉴》级数求和公式
• 阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》（现存图文）
• 阿皮亚纳斯 德国 1527
• 施蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数
• 薛贝尔 法国 1545
• B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》

中国数学家的研究

中国贾宪是贾宪三角的发明人，贾宪/杨辉称之为“释锁求廉本源”，朱世杰称之为“古法七乘方图”（1303年），明朝数学家吴敬《九章详注比类算法大全》称之为“开方作法本源”（1450年）；明王文素《算学宝鉴》称之为“开方本源图”（1524年）；明朝程大位《算法统宗》称之为“开方求廉率作法本源图”（1592年）。 清朝梅文鼎《少广拾遗》称之为“七乘府算法”（1692年）；清朝孔广森《少广正负术》称之为“诸乘方乘率表”；焦循《加减乘除释》称之为“古开方本原图”；刘衡《筹表开诸乘方捷法》称之为“开方求廉率图”；项名达《象数一原》称之为“递加图”。伟烈亚力《数学启蒙》称之为“倍廉法表”；李善兰《垛积比类》称之为“三角垛表”。近代中算史家李俨称之为“巴斯噶三角形”，但根据《永乐大典》指出“巴斯噶三角形”最早由贾宪使用。。著名数学家华罗庚，在1956年写的一本通俗读物《从杨辉三角谈起》，将贾宪的《开方作法本源》称为“杨辉三角”，首次将“巴斯噶三角形”回归宋朝数学家名下；此后的中学数学教科书和许多数学科普读物都跟随之。另一方面，专业的中国数学史著作，都用“贾宪三角”这个称呼。。

一个数在杨辉三角出现的次数

由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为：∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... （OEIS:A003016）。最小而又大于1的数在贾宪三角形至少出现n次的数为2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... （OEIS:A062527）

• 除了1之外，所有正整数都出现有限次。
• 只有2出现刚好一次。
• 6,20,70等出现三次。
• 出现两次和四次的数很多。
• 还未能找到出现刚好五次或七次的数。
• 120,210,1540等出现刚好六次。（OEIS:A098565）
  • 因为丢番图方程
    ${n+1 \choose k+1} = {n \choose k+2},$
    有无穷个解，所以出现至少六次的数有无穷多个。
  • 其解答，是

$n = F_{2i+2} F_{2i+3} - 1,\,$
$k = F_{2i} F_{2i+3} - 1,\,$

• • 其中$F_n$表示第$n$个斐波那契数（$F_1 = F_2 = 1$）。
• 3003是第一个出现八次的数。

编程语言实现

Go

package main

import "fmt"

//行数
const LINES int = 10

//杨辉三角
func ShowYangHuiTriangle() {
	nums := []int{}
	for i := 0; i < LINES; i++ {
		//补空白
		for j := 0; j < (LINES - i); j++ {
			fmt.Print(" ")
		}

		for j := 0; j < (i + 1); j++ {
			var length = len(nums)
			var value int

			if j == 0 || j == i {
				value = 1
			} else {
				value = nums[length-i] + nums[length-i-1]
			}
			nums = append(nums, value)
			//每个数字后面加空格以间隔数字.
			fmt.Print(value, " ")
		}
		fmt.Println("")
	}
}
func main() {
	ShowYangHuiTriangle()
}

Java

public class TriangleArray
{
   public static void main(String[] args)
   {
      final int NMAX = 10; 
 
      // allocate triangular array
      int[][] odds = new int[NMAX + 1][];
      for (int n = 0; n <= NMAX; n++)
         odds[n] = new int[n + 1];  
 
      // fill triangular array
      for (int n = 0; n < odds.length; n++)
         for (int k = 0; k < odds[n].length; k++)
         {
            /*
             * compute binomial coefficient n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)/(1*2*3*...*k)
             */
            int lotteryOdds = 1;
            for (int i = 1; i <= k; i++)
               lotteryOdds = lotteryOdds * (n - i + 1) / i;
 
            odds[n][k] = lotteryOdds;
         }
 
      // print triangular array
      for (int[] row : odds)
      {
         for (int odd : row)
            System.out.printf("%4d", odd);
         System.out.println();
      }
   }
}

Python

代码量较少的实现方式如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
#!/usr/bin/env python
def triangles():
    L = [1]
    while True:
        yield L
        L = [sum(i) for i in zip([0]+L, L+[0])]

下面是另一种较易理解的方式：

def triangles():
    L = [1]
    S = []
    while True:
        yield L 
        L = [1] + S + [1]
        S = []
        for i in range(len(L)-1):
            S.append(L[i] + L[i+1])

Visual Basic

Private Sub Form_Click()
    N = InputBox("", "", 5)
    ReDim a(N + 1, N + 1), b(N + 1, N + 1)
    Cls
    k = 8
    For I = 1 To N
        Print String((N - I) * k / 2 + 1, " ");
        For J = 1 To I
            a(I, 1) = 1
            a(I, I) = 1
            a(I + 1, J + 1) = a(I, J) + a(I, J + 1)
            b(I, J) = Trim(Str(a(I, J)))
            Print b(I, J); String(k - Len(b(I, J)), " ");
        Next J
        Print
    Next I
End Sub

C++

//以下只有列出14行

#include<iostream>
using namespace std;
int P(int n){
	int a=1,i=1;
	while(i<=n){
		a*=i;
		i++;
	}
	return a;
}

int C(int a,int b){
	return P(a)/(P(b)*P(a-b));
}

int main(){
	for(int i=1;i<14;i++){
		for(int j=1;j<=i;j++){
			cout << C(i-1,j-1) << " ";
		}
		cout << endl;
	}
}

外部链接

• 帕斯卡三角形

参见

• 贾宪、杨辉
• 莱布尼茨三角形