貴金屬比例

貴金屬比例、貴金屬分割（英語：metallic ratio）定義為

$\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}:1$（n為自然數）

所表示的比率。

隨$n$值的不同，又稱為第$n$貴金屬比例、第$n$貴金屬分割。特別地，第1貴金屬比例$\frac{1+\sqrt5}{2}:1$稱為黃金比例、第2貴金屬比例$1+\sqrt{2}:1$稱為白銀比例、第3貴金屬比例$\frac{3+\sqrt{13}}{2}:1$稱為青銅比例。

貴金屬數

貴金屬數

0	$\frac{0+\sqrt{4}}{2}$	1	1
1	$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$	$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$	1.6180339887...
2	$\frac{2+\sqrt{8}}{2}$	$1+\sqrt{2}$	2.4142135623...
3	$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$	$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$	3.3027756377...
4	$\frac{4+\sqrt{20}}{2}$	$2+\sqrt{5}$	4.2360679774...
5	$\frac{5+\sqrt{29}}{2}$	$\frac{5+\sqrt{29}}{2}$	5.1925824035...
6	$\frac{6+\sqrt{40}}{2}$	$3+\sqrt{10}$	6.1622776601...
7	$\frac{7+\sqrt{53}}{2}$	$\frac{7+\sqrt{53}}{2}$	7.1400549446...
8	$\frac{8+\sqrt{68}}{2}$	$4+\sqrt{17}$	8.1231056256...
9	$\frac{9+\sqrt{85}}{2}$	$\frac{9+\sqrt{85}}{2}$	9.1097722286...
n	$\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}$

貴金屬數是

$\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}$

即二次方程式$x^2-nx-1=0$的正根。

連分數

貴金屬數的連分數表示是：

$n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{\ddots}}}} = [n; n, n, n, n, \dots]$

數列的商的極限

黃金數（第1貴金屬數）是斐波那契數列相鄰兩項的比的極限，白銀數（第2貴金屬數）是佩爾數列相鄰兩項的比的極限；一般地，也存在以第$n$貴金屬數為相鄰兩項的比的極限的數列。

數列$\{M_k\}$的遞推關係式

$M_0 = 0,\quad M_1 = 1,\quad M_{k+2} = n M_{k+1} + M_k$

一旦定義了此關係式，則在此之中，第$n$貴金屬數為$\mu$，有

$M_k = \frac{\mu^k - (-\mu)^{-k}}{\mu + \mu^{-1}} = \frac{\mu^k - (-\mu)^{-k}}{\sqrt{n^2+4}}$

成立。在這種情況下，這個序列的兩個相鄰項的商數在$K\rightarrow\infty$收斂於$\mu$。即

$\lim_{k\to\infty} \frac{M_{k+1}}{M_k} = \mu$

成立。

參見

• 黃金比例
• 白銀比例
• 青銅比例