代数分式

代数分式是指分子及分母都是代数式的分数，像 $\frac{3x}{x^2+2x-3}$ 及 $\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}$. 都是代数分式。

有理分式是指分子及分母都是多项式的分式，像$\frac{3x}{x^2+2x-3}$ 为有理分式，但$\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}$ 的分子为根式，不是多项式，因此不是有理分式。

术语

在代数分式 $\tfrac{a}{b}$中，被除数称为分子，除数称为分母，两者都是代数分式的项。

若代数分式的分子或分母中包括复数，则称为复数分式。

简分式是其分子或分母都不是分式的代数分式，若一个表示式不是以分式的形式表示，则称为整式，不过只要将分母设为1，即可以将整式表示为代数分式，带分式指整式和分式的代数和。

有理分式

主条目：有理函数

若代理分式的a和b都是多项式，此分式称为有理代数分式，或简称为有理分式。有理分式也称为有理表示式或有理函数。若有理分式 $\tfrac{f(x)}{g(x)}$ 满足$\deg f(x) < \deg g(x)$，称为真分式，否则称为假分式，像$\tfrac{2x}{x^2-1}$为真分式，而$\tfrac{x^3+x^2+1}{x^2-5x+6}$ 和 $\tfrac{x^2-x+1}{5x^2+3}$ 是假分式。假分式可以表示为整式（可能是常数）及真分式的和，例如以上提到的假分式可以表示为

$\frac{x^3+x^2+1}{x^2-5x+6} = (x+6) + \frac{24x-35}{x^2-5x+6},$

其中第二项为真有理分式，二个真分式的和也会是真分式，有时会将真分式的分母因式分解，再将真分式表示数个真因式，其分母分别为原分母的因式（或因式次方），这称为部分分式，例如以下等号右边的即为部分分式

$\frac{2x}{x^2-1} = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}.$

因此等号右边的称为部分分式，例如真分式积分时会先进行部分分式分解，再进行积分，称为部分分式积分法。

无理分式

无理分式是指分式中有变数的幂式为小数，像以下的分式即为无理分式

$\frac{x^\tfrac12 - \tfrac13 a}{x^\tfrac13 - x^\tfrac12}.$

将无理分式变为有理分式的过程称为有理化，每个根式为单项的无理分式可以用以下的方式有理化：找到所有幂次分母的最小公倍数，再将变数用另一变数的幂次取代，使原来的根式都变为新变数的整数幂次，例如在上式中，幂次分母的最小公倍数为6，因此可以令 $x = z^6$ ，得到

$\frac{z^3 - \tfrac13 a}{z^2 - z^3}.$

参考资料

Brink, Raymond W. IV. Fractions. College Algebra. 1951.