贵金属比例

贵金属比例、贵金属分割（英语：metallic ratio）定义为

$\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}:1$（n为自然数）

所表示的比率。

随$n$值的不同，又称为第$n$贵金属比例、第$n$贵金属分割。特别地，第1贵金属比例$\frac{1+\sqrt5}{2}:1$称为黄金比例、第2贵金属比例$1+\sqrt{2}:1$称为白银比例、第3贵金属比例$\frac{3+\sqrt{13}}{2}:1$称为青铜比例。

贵金属数

贵金属数

0	$\frac{0+\sqrt{4}}{2}$	1	1
1	$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$	$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$	1.6180339887...
2	$\frac{2+\sqrt{8}}{2}$	$1+\sqrt{2}$	2.4142135623...
3	$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$	$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$	3.3027756377...
4	$\frac{4+\sqrt{20}}{2}$	$2+\sqrt{5}$	4.2360679774...
5	$\frac{5+\sqrt{29}}{2}$	$\frac{5+\sqrt{29}}{2}$	5.1925824035...
6	$\frac{6+\sqrt{40}}{2}$	$3+\sqrt{10}$	6.1622776601...
7	$\frac{7+\sqrt{53}}{2}$	$\frac{7+\sqrt{53}}{2}$	7.1400549446...
8	$\frac{8+\sqrt{68}}{2}$	$4+\sqrt{17}$	8.1231056256...
9	$\frac{9+\sqrt{85}}{2}$	$\frac{9+\sqrt{85}}{2}$	9.1097722286...
n	$\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}$

贵金属数是

$\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}$

即二次方程式$x^2-nx-1=0$的正根。

连分数

贵金属数的连分数表示是：

$n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{\ddots}}}} = [n; n, n, n, n, \dots]$

数列的商的极限

黄金数（第1贵金属数）是斐波那契数列相邻两项的比的极限，白银数（第2贵金属数）是佩尔数列相邻两项的比的极限；一般地，也存在以第$n$贵金属数为相邻两项的比的极限的数列。

数列$\{M_k\}$的递推关系式

$M_0 = 0,\quad M_1 = 1,\quad M_{k+2} = n M_{k+1} + M_k$

一旦定义了此关系式，则在此之中，第$n$贵金属数为$\mu$，有

$M_k = \frac{\mu^k - (-\mu)^{-k}}{\mu + \mu^{-1}} = \frac{\mu^k - (-\mu)^{-k}}{\sqrt{n^2+4}}$

成立。在这种情况下，这个序列的两个相邻项的商数在$K\rightarrow\infty$收敛于$\mu$。即

$\lim_{k\to\infty} \frac{M_{k+1}}{M_k} = \mu$

成立。

参见

• 黄金比例
• 白银比例
• 青铜比例