子集,爲某個集合中一部分的集合,故亦稱部分集合。
若和為集合,且的所有元素都是的元素,則有:
- 是的子集(或稱包含於);
- ;
- 是的父集/超集(或稱包含);
- .
所有集合都是其本身的子集。
不等於的的子集稱為真子集。
若是的真子集,則寫作。
"是……的子集"的關係稱為包含。
定義
假設有和兩個集合,如果中的每個元素都是的元素,則:
- 是的 子集,記作
- 也可以說
- 是的 超集,記作
如果是的子集,但不等於(即中至少存在一個元素不在集合中),則:
- 是的 真子集,記作
- 也可以說
- 是 的 真超集,記作
符號
符號表示任何子集關係,符號表示真子集關係。也是一個很常見的符號,但其含義容易混淆。
有人用和表示任何子集和超集關係,即和所分別代表的含義。[1][2][3]所以在這些作者的文章中,對於任意集合, 始終成立。
也有人用和表示真子集和真超集的概念,即和所分別代表的含義。[4]:p.6這樣和就類似於不等符號和的關係。例如如果 ,那麼可能等於也可能不等於,而如果 ,那麼就一定不等於。換用表示真子集,如果 ,那麼可能等於也可能不等於,而如果 ,那麼就一定不等於。
ISO 80000-2 標準中定義了兩種符號搭配:使用表示子集關係,表示真子集關係;或者使用表示子集關係,使用表示真子集關係。
舉例
- 集合是集合的真子集。
- 自然數集合是有理數集合的真子集。
- 集合是大於2000的素數是集合是大於1000的奇數的真子集。
- 任意集合是其自身的子集,但不是真子集。
- 空集,寫作 ,是任意集合的子集。空集總是其他集合的真子集,除了其自身。
性質
命題1:空集是任意集合的子集。
這個命題說明:包含是一種偏序關係。
命題2:若是集合,則:
- 自反性:
- 反對稱性:
- 且若且唯若
- 傳遞性:
- 若且則
這個命題說明:對任意集合,的冪集按包含排序是一個有界格,與上述命題相結合,則它是一個布爾代數。
命題3:若是集合的子集,則:
- 存在一個最小元和一個最大元:
- ( 由命題1給出)
- 存在並運算:
- 若且則
- 存在交運算:
- 若且則
命題4:對任意兩個集合和,下列表述等價:
這個命題說明:表述"",和其他使用併集,交集和補集的表述是等價的,即包含關係在公理體系中是多餘的。
參考文獻
參見