不等

数学上，不等是表明两个对象的大小或者顺序的二元关系，与相等相对。不等关系主要有四种：

• $a<b$，即$a$小于$b$
• $a>b$，即$a$大于$b$

上述两个属于严格不等。

• $a\leq b$，即$a$小于等于$b$
• $a\geq b$，即$a$大于等于$b$
• $a\neq b$，即$a$不等于$b$

将两个表达式用不等符号连起来，就构成了不等式。

若不等关系对变量的所有元素都成立，则称其为“绝对的”或“无条件的”。若不等关系只对变量的部分取值成立，而对另一部分将改变方向或失效，则称为条件不等。

不等式两边同时加或减相同的数，或者两边同时乘以或除以同一个正数，不等关系不变。不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等关系改变方向。

符号$a\gg b$表示$a$“远大于”$b$。其含义是不确定的，可以是 100 倍的差异，也可能是10个数量级的差异。和方程相联系，它被用来给出一个非常大的值而使方程的输出满足一个特定的结果。

性质

不等具有下列性质：

三分律：

对任意实数$a$、$b$，只有下列之一是真的：

• $a<b$
• $a=b$
• $a>b$

传递性：

对任意实数$a$、$b$、$c$，如果$a<b$，$b<c$，则$a<c$；如果$a>b$，$b>c$则$a>c$；如果$a=b$, $b=c$, 则$a=c$。

加法性质：

对任意实数$a$、$b$、$c$：

• 若 $a > b$；则 $a + c > b + c$ 。
• 若 $a < b$；则 $a + c < b + c$。

乘法性质：

对任意实数$a$、$b$、$c$，且有$c\ne 0$：

• 若$c$为 正数 且 $a > b$；则 $ac > bc$。
• 若$c$为 正数 且 $a < b$；则 $ac < bc$ 。
• 若$c$为 负数 且 $a > b$；则 $ac < bc$ 。
• 若$c$为 负数 且 $a < b$；则 $ac > bc$。

注意：当遇上不等关系求解时，比如已知$A>B$，$C>D$，不可以认为$A-C>B-D$。

举例

• 若$x>0$ ；则

$x^x \ge \left( \frac{1}{e}\right)^\frac{1}{e},$

• 若$x>0$；则

$x^{x^x} \ge x\,$

• 若$x,y,z>0$；则

$(x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x > 2\,$

• 若$x,y,z>0$；则

$x^x y^y z^z \ge (xyz)^\frac{x+y+z}{3},$

• 若$a,b>0$；则

$a^a + b^b \ge a^b + b^a\,$

• 若$a,b>0$；则

$a^{ea} + b^{eb} \ge a^{eb} + b^{ea}\,$

• 若$a,b,c>0$；则

$a^{2a} + b^{2b} + c^{2c} \ge a^{2b} + b^{2c} + c^{2a}\,$

• 若$a_1,\ldots,a_n>0$；则

$a_1^{a_2}+a_2^{a_3}+\cdots+a_n^{a_1}>1$

参见

• 二元关系
• 偏序关系
• 不等号
• 不等式列表