子集

A是B的子集

子集，爲某個集合中一部分的集合，故亦稱部分集合。

若$A$和$B$為集合，且$A$的所有元素都是$B$的元素，則有：

• $A$是$B$的子集（或稱包含於$B$）；
• $A\subseteq B$；
• $B$是$A$的父集/超集（或稱包含$A$）；
• $B\supseteq A$.

所有集合$B$都是其本身的子集。 不等於$B$的$B$的子集稱為真子集。 若$A$是$B$的真子集，則寫作$A\subsetneqq B$。 "是……的子集"的關係稱為包含。

定義

假設有$A$和$B$兩個集合，如果$A$中的每個元素都是$B$的元素，則：

• $A$是$B$的 子集，記作 $A \subseteq B$

也可以說

• $B$是$A$的 超集，記作 $B \supseteq A$

如果$A$是$B$的子集，但$A$不等於$B$（即$B$中至少存在一個元素不在$A$集合中），則：

• $A$是$B$的 真子集，記作 $A \subsetneqq B$

也可以說

• $B$是$A$ 的 真超集，記作 $B \supsetneqq A$

符號

符號$\subseteq$表示任何子集關係，符號$\subsetneqq$表示真子集關係。$\subset$也是一個很常見的符號，但其含義容易混淆。

有人用$\subset$和$\supset$表示任何子集和超集關係，即$\subseteq$和$\supseteq$所分別代表的含義。所以在這些作者的文章中，對於任意集合$A$，$A \subset A$ 始終成立。

也有人用$\subset$和$\supset$表示真子集和真超集的概念，即$\subsetneqq$和$\supsetneqq$所分別代表的含義。這樣$\subseteq$和$\subset$就類似於不等符號$\leq$和$<$的關係。例如如果 $x \leq y$，那麼$x$可能等於$y$也可能不等於，而如果 $x < y$，那麼$x$就一定不等於$y$。換用$\subset$表示真子集，如果 $A \subseteq B$，那麼$A$可能等於$B$也可能不等於，而如果 $A \subset B$，那麼$A$就一定不等於$B$。

ISO 80000-2 標準中定義了兩種符號搭配：使用$\subseteq$表示子集關係，$\subset$表示真子集關係；或者使用$\subset$表示子集關係，使用$\subsetneqq$表示真子集關係。

舉例

• 集合$\left \{ 1,2 \right \}$是集合$\left \{ 1,2,3 \right \}$的真子集。
• 自然數集合是有理數集合的真子集。
• 集合$\{x:x$是大於2000的素數$\}$是集合$\{x:x$是大於1000的奇數$\}$的真子集。
• 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
• 空集，寫作 $\varnothing$，是任意集合$X$的子集。空集總是其他集合的真子集，除了其自身。

性質

命題1：空集是任意集合的子集。

這個命題說明：包含是一種偏序關係。

命題2：若$A,B,C$是集合，則：

自反性：

• $A\subseteq A$

反對稱性：

• $A\subseteq B$且$B\subseteq A$若且唯若$A=B$

傳遞性：

• 若$A\subseteq B$且$B\subseteq C$則$A\subseteq C$

這個命題說明：對任意集合$S$，$S$的冪集按包含排序是一個有界格，與上述命題相結合，則它是一個布爾代數。

命題3：若$A,B,C$是集合$S$的子集，則：

存在一個最小元和一個最大元：

• $\varnothing\subseteq A\subseteq S$（ $\varnothing\subseteq A$由命題1給出）

存在並運算：

• $A\subseteq A\cup B$
• 若$A\subseteq C$且$B\subseteq C$則$A\cup B\subseteq C$

存在交運算：

• $A\cap B\subseteq A$
• 若$C\subseteq A$且$C\subseteq B$則$C\subseteq A\cap B$

命題4:對任意兩個集合$A$和$B$，下列表述等價：

• $A\subseteq B$
• $A\cap B=A$
• $A\cup B=B$
• $A-B=\varnothing$
• $B\subseteq A'$

這個命題說明：表述"$A\subseteq B$"，和其他使用併集，交集和補集的表述是等價的，即包含關係在公理體系中是多餘的。

參見

• 冪集：某集合的全部子集組成的集合。