無窮公理

在公理化集合論和使用它的邏輯、數學和計算機科學中，無窮公理是 Zermelo-Fraenkel 集合論的公理之一。

形式陳述

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式語言中，這個公理讀作：

$\exists \mathbf{N}: \varnothing \in \mathbf{N} \land (\forall x: x \in \mathbf{N} \implies x \cup \{x\} \in \mathbf{N})$

或用非形式化的語言陳述：存在一個集合$\mathbb{N}$，使得空集在$\mathbb{N}$中，並且只要$x$是$\mathbb{N}$的成員，則$x$與它的單元素集合$\{x\}$此兩者的併集也是$\mathbb{N}$的成員。這種集合有時也叫做歸納集合。歸納集合是帶有如下性質的集合$X$：對於所有$x\in X$，$x$的後繼$x'$也是$X$的一個元素。

解釋

要理解這個公理，首先我們要定義$x$的後繼為$x\cup \{x\}$。注意配對公理允許我們形成單元素集合$\{x\}$。 後繼是用來定義自然數的常用的集合論編碼。在這種編碼中，0是空集（$0=\varnothing$），而1是0的後繼：

$1=0\cup\{0\}=\varnothing\cup\{0\}=\{0\}$

類似地，2 是1 的後繼：

$2=1\cup\{1\}=\{0\}\cup\{1\}=\{0,1\}$

如此類推。這個定義的推論是對於任何自然數$n$，$n$等同於由它的所有前驅（predecessor）組成的集合。

我們希望可以形成包含所有自然數的一個集合，但是只使用其他ZF公理的話並不能做到這一點。因此，有必要加入無窮公理以假定這個集合的存在。它是通過類似於數學歸納法的方法完成的：首先假定有一個集合$S$包含零，並接着規定對於$S$的所有元素，這個元素的後繼也在$S$中。

這個集合$S$可以不只是包含自然數，還包含別的元素。但是我們可以應用分類公理模式來除去不想要的元素，留下所有自然數的集合$\mathbb{N}$。通過外延公理可知這個集合是唯一的。應用分類（分離）公理的結果是：

$\exists \mathbf{N} \forall n (n \in \mathbf{N} \iff ([\forall k \in n(\bot) \lor \exists k \in n( \forall j \in k(j \in n) \land \forall j \in n(j=k \lor j \in k))] \land$
$\forall m \in n[\forall k \in m(\bot) \lor \exists k \in n(k \in m \land \forall j \in k(j \in m) \land \forall j \in m(j=k \lor j \in k))]))$

用非形式化的語言陳述：所有自然數的集合存在；這裏的自然數要麼是零，要麼是一個自然數k的後繼，並且$k$的每個元素要麼是0要麼是$k$的另外一個元素的後繼。

所以這個公理的本質是：

有一個集合包含所有的自然數。

無窮公理也是von Neumann-Bernays-Gödel 公理之一。

引用

• Paul Halmos (1960) Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company. Reprinted 1974 by Springer-Verlag. ISBN 0-387-90092-6.
• Thomas Jech (2003) Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.
• Kenneth Kunen (1980) Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.