函數
f
(
)
{\displaystyle f()}
黑箱 ，給予輸入值
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
函數 （英語：Function ）在數學 中為兩不為空集的集合 間的一種對應關係：輸入值集合中的每項元素皆能對應唯一 一項輸出值集合中的元素。例如實數
x
{\displaystyle x}
平方
x
2
{\displaystyle x^2}
3
{\displaystyle 3}
9
{\displaystyle 9}
為方便起見，一般做法是以符號
f
,
g
,
h
{\displaystyle f,g,h}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f of x' 。上述的平方函數關係寫成數學式記為
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^2}
Capital
(
)
{\displaystyle \operatorname{Capital}()}
中國 就會輸出唯一值北京 ：Capital ( C . N . ) = B e i J i n g {\displaystyle \operatorname{Capital}(\mathrm{C.N.}) = \mathrm{BeiJing}} 氣溫 的分佈也能用函數表達，以時間和地點作為參量輸入，以該時該地的溫度作為輸出。表達函數有多種方式，例如解析法是用數學式表達兩個變量之間的對應關係，圖像法是用坐標系 上的函數圖形 表達兩個變量之間的對應關係，列表法用表格表達兩個變量之間的對應關係。
現代數學中[1] 集合 被稱作該函數的定義域 對應域 值域 子集 。通常輸入值稱作函數的參數 或參量 ，輸出值稱作函數的值 。函數將有效的輸入值變換為唯一的輸出值，同一輸入總是對應同一輸出，但反之未必成立。因此如
R
o
o
t
(
x
)
=
±
x
{\displaystyle \mathrm{Root}(x)=\pm\sqrt x}
P
o
s
r
o
o
t
(
x
)
=
x
{\displaystyle \mathrm{Posroot}(x)=\sqrt x}
函數可以看作機器或黑箱 ，通常最常見的函數的參數和函數值都是數字，其對應關係用函數式表示，函數值可以通過直接將參數值代入函數式得到。
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^2}
x
{\displaystyle x}
g
(
x
,
y
)
=
x
y
{\displaystyle g(x,y) = xy}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
y
{\displaystyle xy}
有序對
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
g
{\displaystyle g}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
x
y
{\displaystyle xy}
數學關係 ，由於其定義的一般性，在幾乎所有的數學分支都是基礎概念。一些領域中比如在λ演算 中，函數可以是作為一個原始概念而不像在集合論 般有所定義。在大部分的數學領域內，術語對應 、映射 、轉換 通常是函數的近義詞。不過某些情況這些術語可能有別的特定意思，例如在拓撲學 中一個映射有時被定義成一個連續函數 。
定義 函數f 的部分圖像。每個實數的x 都與f （x ） = x 3 − 9x 相聯繫。 從輸入值集合
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
f
{\displaystyle f}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f: X \to Y}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
關係 ，滿足如下條件：
f
{\displaystyle f}
完全 的：對集合
X
{\displaystyle X}
x
{\displaystyle x}
Y
{\displaystyle Y}
y
{\displaystyle y}
x
f
y
{\displaystyle x f y}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
f
{\displaystyle f}
y
{\displaystyle y}
f
{\displaystyle f}
多對一 的：若
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle f(x)=y}
f
(
x
)
=
z
{\displaystyle f(x)=z}
y
=
z
{\displaystyle y=z}
定義域中任一
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
比上面定義更簡明的表述如下：從
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
直積
X
×
Y
{\displaystyle X \times Y}
子集 。
X
{\displaystyle X}
x
{\displaystyle x}
Y
{\displaystyle Y}
y
{\displaystyle y}
有序對
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
多值函數
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
偏函數 。函數都是偏函數，但偏函數不都是函數。除非特別指明，本條目中的「函數」總是指同時滿足以上兩個條件的關係。
考慮如下例子：
（1）一對多。
X 中的元素3與
Y 中的兩個元素
b 和
c 相關。因此這是
多值函數 ，而不是函數。
（2）一對一但非完全對應。
X 的元素1未與
Y 的任一元素相關。因此這是
偏函數 ，而
不是 函數。
（3）完全對應且多對一，因此這是從
X 到
Y 的函數。此函數可以表示為
f ={(1, d ), (2, d ), (3, c )}，或
f
(
x
)
=
{
d
,
if
x
=
1
d
,
if
x
=
2
c
,
if
x
=
3
{\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} d, & \mbox{if }x=1 \\ d, & \mbox{if }x=2 \\ c, & \mbox{if }x=3\end{matrix}\right.}
函數的判別 除了利用函數的定義之外，還可以利用豎直判別法 ，即函數的圖形與任何一條平行於 y 軸的直線不能有一個以上的交點。
歷史 函數這個數學名詞是萊布尼茲 在1694年開始使用的，用來描述跟曲線 相關的一個量，如曲線的斜率 或者曲線上的某一點。萊布尼茲所指的函數現在被稱作可導函數 ，數學家之外的普通人一般接觸到的函數即屬此類。對於可導函數可以討論它的極限 和導數 ，此兩者描述了函數輸出值的變化同輸入值變化的關係，是微積分學 的基礎。中文的「函數 」一詞由清朝 數學家李善蘭 譯出。其《代數學》書中解釋：「凡此變數中函（包含）彼變數者，則此為彼之函數」。
1718年，約翰·伯努利 把函數定義為「一個變量的函數是指由這個變量和常數以任何一種方式組成的一種量。」
1748年，伯努利的學生歐拉 在《無窮分析引論》一書中說：「一個變量 的函數是由該變量和一些數或常數 以任何一種方式構成的解析表達式 」，例如
f
(
x
)
=
sin
(
x
)
+
x
2
{\displaystyle f(x)=\sin(x)+x^2}
1775年，歐拉在《微分學原理》一書中又提出了函數的一個定義：「如果某些量以如下方式依賴於另一些量，即當後者變化時，前者本身也發生變化，則稱前一些量是後一些量的函數。」
19世紀的數學家開始對數學的各個分支進行形式化。維爾斯特拉斯 倡議將微積分學建立在算術 ，而不是幾何 的基礎上，這種主張較趨向於歐拉的定義。
函數的定義得以擴展之後，數學家便能對一些「奇怪」的數學物件進行研究，例如處處不可導的連續函數。這些函數曾經被認為只具有理論價值，遲至20世紀初時它們仍被視作「怪物」。稍後，人們發現這些函數在對如布朗運動 之類的物理現象進行建模時有重要的作用。
到19世紀末，數學家開始嘗試利用集合論 來進行數學的形式化。他們試圖將每一個數學物件都定義為集合 。狄利克雷 給出了現代正式的函數定義（參見下文#正式定義 ）。在他的定義下，函數被視作數學關係 的特例。然而對於實際應用的情況，現代定義和歐拉定義的區別可以忽略不計。 表示方法 分段函數 分段函數 （德語：Abschnittsweise definierte Funktion ），在定義域內不同部分上，有不同的解析表達式，這樣的函數通常叫分段函數。分段實際上是一種表達函數的方式，而不是函數本身的一個特徵，但是具有額外的限定，可以描述函數的本質。
函數圖形 函數
f
{\displaystyle f}
(
x
,
f
(
x
)
)
{\displaystyle (x,f(x))}
x
{\displaystyle x}
定義域 上的所有成員。函數圖形可以幫助理解證明一些定理。
注意函數圖形可以有兩個定義：一是三元組
(
X
,
Y
,
G
)
{\displaystyle (X,Y,G)}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
G
{\displaystyle G}
關係的圖 ；二是索性以關係的圖定義。用第二個定義則函數
f
{\displaystyle f}
單射、滿射與對射函數 單射 函數，將不同的輸入值映射到不同的函數值。即：若
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
=
y
{\displaystyle x = y}
f
(
x
)
=
f
(
y
)
{\displaystyle f(x)= f(y)}
滿射 函數，其值域即為其對應域。即：對於映射
f
{\displaystyle f}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle f(x)= y}
對射 函數，既是單射的又是滿射的函數。也叫一一對應 、對射。對射函數經常被用於表明集合
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
勢 的，即有一樣的基數 。如果在兩個集合 之間可以建立一個一一對應 ，則說這兩個集合等勢。定義域與值域、對應域 定義域：原像集，自變量的取值集合。
值域：像集，應變量的取值集合。
對應域：值域所屬的全集。 像和原像 元素
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
f
{\displaystyle f}
像
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
子集
A
⊂
X
{\displaystyle A\subset X}
f
{\displaystyle f}
A
{\displaystyle A}
Y
{\displaystyle Y}
f
(
A
)
:=
{
f
(
x
)
:
x
∈
A
}
{\displaystyle f(A) := \{f(x) : x \in A\}}
注意
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
f
(
X
)
{\displaystyle f(X)}
#正式定義 一節的最後例子中，
{
2
,
3
}
{\displaystyle \{2,3\}}
f
{\displaystyle f}
f
(
{
2
,
3
}
=
{
c
,
d
}
{\displaystyle f(\{2, 3\}=\{c, d\}}
f
{\displaystyle f}
{
c
,
d
}
{\displaystyle \{c, d\}}
根據此定義，
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
冪集 （由
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
f
{\displaystyle f}
子集
B
⊂
Y
{\displaystyle B \subset Y}
f
{\displaystyle f}
原像 （或逆像 ）是如下定義的
X
{\displaystyle X}
f
−
1
(
B
)
:=
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
∈
B
}
{\displaystyle f^{-1}(B):=\{x \in X : f(x)\in B\}}
沿用同一例子，我們可以看到
{
a
,
b
}
{\displaystyle \{a, b\} }
f
−
1
(
{
a
,
b
}
)
=
∅
{\displaystyle f^{-1}(\{a, b\}) = \varnothing}
空集 。
根據此定義，
f
−
1
(
x
)
{\displaystyle f^{-1}(x)}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
以下是
f
{\displaystyle f}
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
f
(
A
1
∪
A
2
)
=
f
(
A
1
)
∪
f
(
A
2
)
{\displaystyle f(A_{1} \cup A_{2}) = f(A_{1}) \cup f(A_{2})}
f
(
A
1
∩
A
2
)
⊆
f
(
A
1
)
∩
f
(
A
2
)
{\displaystyle f(A_{1} \cap A_{2}) \subseteq f(A_{1}) \cap f(A_{2})}
f
(
B
1
∪
B
2
)
=
f
−
1
(
B
1
)
∪
f
−
1
(
B
2
)
{\displaystyle f(B_{1} \cup B_{2}) = f^{-1}(B_{1}) \cup f^{-1}(B_{2})}
f
−
1
(
B
1
∩
B
2
)
=
f
−
1
(
B
1
)
∩
f
−
1
(
B
2
)
{\displaystyle f^{-1}(B_{1} \cap B_{2}) = f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2})}
f
−
1
(
f
(
B
)
)
⊆
B
{\displaystyle f^{-1}(f(B)) \subseteq B}
f
−
1
(
f
(
A
)
)
⊇
A
{\displaystyle f^{-1}(f(A)) \supseteq A}
這些特性適合定義域的任意子集
A
,
A
1
{\displaystyle A, A_{1}}
A
2
{\displaystyle A_{2}}
子集
B
,
B
1
{\displaystyle B, B_{1}}
B
2
{\displaystyle B_{2}}
交集 和併集 。
函數範例 首都之於國家（若不把多首都國[1] 計算在內)。
每個自然數
n
{\displaystyle n}
n
2
{\displaystyle n^2}
n
{\displaystyle n}
對數函數 。
ln
x
{\displaystyle \ln x}
正 實數
x
{\displaystyle x}
對每個在
R
2
{\displaystyle \R^2}
原點
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0, 0)}
常用的數學函數包括多項式函數 、根式函數 、冪函數 、對數函數 、有理函數 、三角函數 、反三角函數 等。它們都是初等函數 。非初等函數（或特殊函數 ）包括伽馬函數 和貝索函數 等。
函數的分類 函數可分為
複合函數 函數
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f: X \to Y}
g
:
Y
→
Z
{\displaystyle g: Y \to Z}
複合函數 是
g
∘
f
:
X
→
Z
:
f
(
g
∘
f
)
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle g\circ f: X \to Z :f(g\circ f)(x) = g(f(x))}
舉例，飛機在
t
{\displaystyle t}
h
(
t
)
{\displaystyle h(t)}
x
{\displaystyle x}
c
(
x
)
{\displaystyle c(x)}
t
{\displaystyle t}
(
c
∘
h
)
(
t
)
{\displaystyle (c\circ h)(t)}
若
Y
⊂
X
{\displaystyle Y\subset X}
f
{\displaystyle f}
f
2
{\displaystyle f^{ 2}}
三角學 的符號混淆）。函數的冪 的定義是對自然數
n
{\displaystyle n}
f
n
+
1
=
f
n
∘
f
=
f
∘
f
n
{\displaystyle f^{n+1} = f^{n} \circ f = f \circ f^{ n}}
反函數 對一個函數f : X →Y Y y 對射 的。對任意的y ∈Y ƒ−1 (y ) f f −1
舉一個反函數的例子，比如ƒx ) = x 3 ƒ−1 (x ) = x 3 {\displaystyle \sqrt[ 3 ]{ x} } 2x x / 2 單調性 。參見逆映射 。
函數的限制及擴張 給出
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
f
:
Y
→
Z
{\displaystyle f:Y\rightarrow Z}
則
f
|
X
:
X
→
Z
{\displaystyle f|_X:X\rightarrow Z}
f
|
X
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle f|_X(x)=f(x)}
稱為
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
限制
反之，若給出函數
g
:
X
→
Z
{\displaystyle g:X\to Z}
當一個定義在
Y
{\displaystyle Y}
f
:
Y
→
Z
{\displaystyle f:Y\to Z}
f
|
X
=
g
{\displaystyle f|_X=g}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
擴張
點態運算 設函數f : X → R g : X → R X 環 R f + g : X → R f ×g ：X → R
(f + g )x ) := ƒx ) + g x ); f ×g x ) := ƒx )×g x );對於所有X x
這樣子我們得出一個函數組成的環。這是一個抽象性擴張的例子，由此我們從較簡單的結構得出更複雜的。
若然用別的代數結構 A R X A A
歧義函數 歧義函數，也稱多值函數 ，指有輸出值多於一個的情況。例如，4的平方根 可以是2或者-2，而兩者的平方 皆是4。
嚴格來說，歧義函數不完全算是函數，因為數學函數的定義對於一個輸入值只能有唯一一個輸出值。實際上，這樣的「函數」通常被稱為關係式 。複變函數 理論採用黎曼面 處理函數多值的困境。
一元函數 設 D 是實數集 R 中的非空子集，稱映射 f : D -> R 為定義在 D 上的一元函數 。
多元函數 多元函數（n -元函數）是指輸入值為n -元組n 個集合的笛卡爾積 的子集，這函數就是n -元函數。例如，距離函數dist ((x ,y ))是一個二元函數，輸入值是由兩個點組成的序對。另外，多複變函數 （即輸入值為複數的多元組）是一個重要的數學課題。
在抽象代數 中，運算元 其實都是函數，如乘法"*"是個二元函數：當我們寫x *y 時，其實是用上了*(x ,y )的中綴表示法 。
函數式程式設計 是一個以函數概念為中心的重要理論範式，其中的運算物件為多元函數 ，基本語法 基於λ演算 ，而函數的複合 則採用代換 來完成。特別地，通過一種稱為柯里化 的轉換，可將多元函數轉換為一元函數。
可計算和不可計算函數 所有從整數到整數的可計算函數 的個數是可數 的，這是因為所有可能的算法個數是可數的。從整數到整數的函數個數要更多些－和實數 個數一樣多，也就是說是等勢 的。這說明有些從整數到整數的函數是不可計算的。關於不可計算函數，請參看停機問題 和萊斯定理 ，OEIS 中有一個經典的例子：A102288
範疇論觀點下的函數 在範疇論 中，函數的槪念被推廣為態射 的槪念。
一個範疇 包括一組物件與一組態射，每一個態射是個三元組(X , Y , f )，X 稱為源物件（定義域的類比），Y 稱為目標物件（對應域的類比），而源物件與目標物件是範疇內的物件。基於這種解釋，可以把函數看作集合範疇 裏面的態射。
參考文獻 外部連結 
A102288。