曲线

历史

在数学上，一条曲线的定义为：

设

I = [a, b]

为一实数区间，即实数集的非空子集，那么曲线c 就是一个连续函数c : I → X 的映像，其中X 为一个拓扑空间。

我们常遇到的平面曲线的拓扑空间为 $\mathbb{R}^2$ 。

若f是单射的，则 c是简单曲线（simple curve）。

若 $I = [a, b]$ 和 $f(a) = f(b)$ ，f是闭曲线（closed curve）或环圈。

请参阅参数方程。

一般来说，当在 $\mathbb{R}^n$ 下一些符合一条方程的点的集合组成一条曲线时，那方程就叫那曲线的曲线方程。

例如， $x^2 + y^2 = 1$ 是单位圆的曲线方程，因为有且仅有单位圆上的点符合这条方程；因这些点组成一个单位圆，故该方程正代表着平面上的单位圆。

请参阅弧长。

若 $\gamma(t):[a, b] \to X \subset R^n$ ，则其长度是

$L(\gamma) = \int_a^b |\gamma'(t)| \ dt$

例如，若一条平面曲线可表达成标准方程 $y= f(x)\,$ ，那么它的长度就是：

\int_a^b {\sqrt {\left[ f'\left( x \right) \right] ^ 2 + 1} \;{\rm{d}}x}

其中 $a\,$ 、 $b \,$ 为 $x\,$ 的上下限。

若平面曲线可表达成参数方程 $x(t), y(t)$ ，那么它的长度就是：

\int_\alpha ^\beta  {\sqrt {\left( {x'} \right)^2  + \left( {y'} \right)^2 } {\rm{d}}t}

其中 $\alpha\,$ 、 $\beta\,$ 为 $t\,$ 的上下限。