无平方数因数的数

无平方数因数的数（英语：square-free integer）是指其因数中，没有一个是平方数的正整数。简言之，将一个这样的数予以素因数分解后，所有素因数的幂都不会大于或等于2。例如：54=${\displaystyle }$$2\times 3^{3}$，由于54有因数是平方数（$3^2=9$），所以54不是无平方数因数的数；而55=${\displaystyle }$$5\times 11$，55没有因数是平方数，所以55是无平方数因数的数。

以数学概念说明：若一个数$R$是无平方数因数的数，则对于任意平方数$S^2$且$S^2 \le R$则$S^2 \nmid R$；或者说当$R = P_1 P_2 P_3 ... P_n$且$P_1, P_2, P_3, ..., P_n$皆为素数时，对于任意$1 \le i,j \le n$，$i \ne j$而言，$P_i \ne P_j$

另一方面，默比乌斯函数$\mu (n) \ne 0$当且仅当$n \ge 1$且$n = 1$或$n$为无平方数因数的数时

前20个无平方因数的数是：1、2、3、5、6、7、10、11、13、14、15、17、19、21、22、23、26、29、30、31（OEIS中的数列A005117）

由于“无平方数因数的数”的所有素因数指数均为一次方，故除1以外，有关数的正因数数目必定是2的非负整数次方。

将无平方数因数的数分解为两数之积，这两数一定互质。

依定义，显然所有的素数、楔形数、素数阶乘与有4个正因数的半素数都是无平方数因数的数。

不含平方因子的数的分布

如果用Q(x)来表示1和x之间的不含平方因子的数，则：

$Q(x) = \frac{6x}{\pi^2} + O(\sqrt{x})$

因此，不含平方因子的数的自然密度为：

$\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x)}{x} = \frac{6}{\pi^2} = \frac{1}{\zeta(2)}$

其中ζ是黎曼ζ函数。

类似地，如果用Q(x,n)来表示1和x之间的不含n次方因子的数，则我们可以证明：

$\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x,n)}{x} = \frac{1}{\zeta(n)}.$