素数阶乘

  此条目介绍的是素数阶乘。关于另一种用法，请见“阶乘素数”。

p_n# 是计算第n个素数阶乘的函数

素数阶乘n#（红色的）与 阶乘n!（绿色的）的比较

素数阶乘（又称：质数阶乘）是所有小于或等于该数的素数的积，自然数n的素数阶乘，写作n#。例如10以下的素数有：2,3,5,7，所以10# = 7×5×3×2 = 210。第n个素数阶乘的值，写作p_n#。例：第三个素数为5，所以p₃# = 5# = 5×3×2 = 30。 素数阶乘与阶乘不同于，素数阶乘是素数乘积而阶乘是自然数乘积。 素数阶乘由Harvey Dubner定义并命名。

用素数定义

第n个素数p_n的素数阶乘p_n#定义为前n个素数的积：

$p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k$

其中p_k是第k个素数。

例如，p₅#代表前五个素数的乘积：

$p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310$

前几个素数阶乘p_n#是：

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, ...（OEIS中的数列A002110）

并定义p₀# = 1 为空积。

素数阶乘p_n#的渐进递增为：

$p_n\# = \exp \left [ (1 + o(1)) \cdot n \log n \right ]$

其中：

• "exp"是指数函数e^x
• "o"是大O符号

用自然数定义

一般情况下，对于正整数n的一素数阶乘n#（或称作自然素数阶乘）也可以被定义为：

$n\# = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\#$

其中，π(n)是素数计数函数（OEIS中的数列A000720），表示小于或等于某个实数n的素数的个数。

它等于：

$n\# = \begin{cases} 1 & \text{if }n = 1 \\ n \times ((n-1)\#) & \text{if }n > 1 \land n \text{ is prime} \\ (n-1)\# & \text{if }n > 1 \land n \text{ is composite} \end{cases}$

• prime指素数，composite指合成数

例如，12# 代表素数≤ 12：

$12\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310$

因为π(12) = 5，所以这个算式也可以写成：

$12\# = p_{\pi(12)}\# = p_5\# = 2310$

前几个自然素数阶乘n#是：

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310

不难发现当n为合成数时，n#的值总是与(n-1)#相同。例如上面提及的12# = p₅# = 11#，因为12为合成数。

n#的自然对数是第一个切比雪夫函数，记为$\theta(n)$ 或 $\thetasym(n)$。

素数阶乘n#的渐进递增为：

$\ln (n\#) \sim n$

素数阶乘的概念可以用于证明素数是无限的。（参见证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式）

恒等式

黎曼ζ函数在超过1的正整数可以素数阶乘与 Jordan's totient function $J_{k}(n)$表示：

$\zeta(k)=\frac{2^k}{2^k-1}+\sum_{r=2}^\infty\frac{(p_{r-1}\#)^k}{J_k(p_r\#)},\quad k=2,3,\dots$

素数阶乘列表（部分）

n	n#	pn	pn#
0	1	无素数	1
1	1	2	2
2	2	3	6
3	6	5	30
4	6	7	210
5	30	11	2310
6	30	13	30030
7	210	17	510510
8	210	19	9699690
9	210	23	223092870
10	210	29	6469693230
11	2310	31	200560490130
12	2310	37	7420738134810
13	30030	41	304250263527210
14	30030	43	13082761331670030
15	30030	47	614889782588491410

参见

• 素数（质数）
• 阶乘
• 欧几里得数

参考文献

1. Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.