除数函数

在数论上，除数函数是一类算术函数。

除数函数$\sigma_x(n)$定义为n的正约数的$x$次幂之和，即

$\sigma_x(n) = \sum_{d|n} d^x$

其中一些特殊情况：

• $\sigma_0(n)$ ：$n$的正约数的数目
• $\sigma_1(n)$ ：$n$的正约数之和（包括自己）

σ_x(n)的值

n / x	0	1	2
1	1	1	1
2	2	3	5
3	2	4	10
4	3	7	21
5	2	6	26
10	4	18	130
12	6	28	210
20	6	42	546
25	3	31	651

性质

• $\sigma_x(n)$都是积性函数，但不是完全积性。
• $\sigma_x(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^x-1}$，而这等式与$\sigma_x(n) = \prod_{i=1}^r \sum_{j=0}^{a_i} p_i^{j x} = \prod_{i=1}^r (1 + p_i^x + p_i^{2x} + \cdots + p_i^{a_i x})$相等，$\prod_{i=1}^r \sum_{j=0}^{a_i} p_i^{j x} = \prod_{i=1}^r (1 + p_i^x + p_i^{2x} + \cdots + p_i^{a_i x})$即$n$的各约数的$x$次方后的和，此式在$x=1$时即为$n$包括$n$本身在内的各约数的和。
• $\sigma_x(n)=\sum_{\mu=1}^{n} \mu^{x-1}\sum_{\nu=1}^{\mu}\cos\frac{2\pi\nu n}{\mu}$
• $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}=\zeta(s) \zeta(s-a)$
• $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}.$

参考

• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9