函数
f
(
)
{\displaystyle f()}
黑箱 ，给予输入值
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
函数 （英语：Function ）在数学 中为两不为空集的集合 间的一种对应关系：输入值集合中的每项元素皆能对应唯一 一项输出值集合中的元素。例如实数
x
{\displaystyle x}
平方
x
2
{\displaystyle x^2}
3
{\displaystyle 3}
9
{\displaystyle 9}
为方便起见，一般做法是以符号
f
,
g
,
h
{\displaystyle f,g,h}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f of x' 。上述的平方函数关系写成数学式记为
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^2}
Capital
(
)
{\displaystyle \operatorname{Capital}()}
中国 就会输出唯一值北京 ：Capital ( C . N . ) = B e i J i n g {\displaystyle \operatorname{Capital}(\mathrm{C.N.}) = \mathrm{BeiJing}} 气温 的分布也能用函数表达，以时间和地点作为参量输入，以该时该地的温度作为输出。表达函数有多种方式，例如解析法是用数学式表达两个变量之间的对应关系，图像法是用坐标系 上的函数图形 表达两个变量之间的对应关系，列表法用表格表达两个变量之间的对应关系。
现代数学中[1] 集合 被称作该函数的定义域 到达域 值域 子集 。通常输入值称作函数的参数 或参量 ，输出值称作函数的值 。函数将有效的输入值变换为唯一的输出值，同一输入总是对应同一输出，但反之未必成立。因此如
R
o
o
t
(
x
)
=
±
x
{\displaystyle \mathrm{Root}(x)=\pm\sqrt x}
P
o
s
r
o
o
t
(
x
)
=
x
{\displaystyle \mathrm{Posroot}(x)=\sqrt x}
函数可以看作机器或黑箱 ，通常最常见的函数的参数和函数值都是数字，其对应关系用函数式表示，函数值可以通过直接将参数值代入函数式得到。
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^2}
x
{\displaystyle x}
g
(
x
,
y
)
=
x
y
{\displaystyle g(x,y) = xy}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
y
{\displaystyle xy}
有序对
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
g
{\displaystyle g}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
x
y
{\displaystyle xy}
数学关系 ，由于其定义的一般性，在几乎所有的数学分支都是基础概念。一些领域中比如在λ演算 中，函数可以是作为一个原始概念而不像在集合论 般有所定义。在大部分的数学领域内，术语对应 、映射 、变换 通常是函数的近义词。不过某些情况这些术语可能有别的特定意思，例如在拓扑学 中一个映射有时被定义成一个连续函数 。
定义 函数f 的部分图像。每个实数的x 都与f （x ） = x 3 − 9x 相联系。 从输入值集合
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
f
{\displaystyle f}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f: X \to Y}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
关系 ，满足如下条件：
f
{\displaystyle f}
完全 的：对集合
X
{\displaystyle X}
x
{\displaystyle x}
Y
{\displaystyle Y}
y
{\displaystyle y}
x
f
y
{\displaystyle x f y}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
f
{\displaystyle f}
y
{\displaystyle y}
f
{\displaystyle f}
多对一 的：若
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle f(x)=y}
f
(
x
)
=
z
{\displaystyle f(x)=z}
y
=
z
{\displaystyle y=z}
定义域中任一
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
比上面定义更简明的表述如下：从
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
直积
X
×
Y
{\displaystyle X \times Y}
子集 。
X
{\displaystyle X}
x
{\displaystyle x}
Y
{\displaystyle Y}
y
{\displaystyle y}
有序对
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
多值函数
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
偏函数 。函数都是偏函数，但偏函数不都是函数。除非特别指明，本条目中的“函数”总是指同时满足以上两个条件的关系。
考虑如下例子：
（1）一对多。
X 中的元素3与
Y 中的两个元素
b 和
c 相关。因此这是
多值函数 ，而不是函数。
（2）一对一但非完全对应。
X 的元素1未与
Y 的任一元素相关。因此这是
偏函数 ，而
不是 函数。
（3）完全对应且多对一，因此这是从
X 到
Y 的函数。此函数可以表示为
f ={(1, d ), (2, d ), (3, c )}，或
f
(
x
)
=
{
d
,
if
x
=
1
d
,
if
x
=
2
c
,
if
x
=
3
{\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} d, & \mbox{if }x=1 \\ d, & \mbox{if }x=2 \\ c, & \mbox{if }x=3\end{matrix}\right.}
函数的判别 除了利用函数的定义之外，还可以利用竖直判别法 ，即函数的图形与任何一条平行于 y 轴的直线不能有一个以上的交点。
历史 函数这个数学名词是莱布尼兹 在1694年开始使用的，用来描述跟曲线 相关的一个量，如曲线的斜率 或者曲线上的某一点。莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数 ，数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类。对于可导函数可以讨论它的极限 和导数 ，此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系，是微积分学 的基础。中文的“函数 ”一词由清朝 数学家李善兰 译出。其《代数学》书中解释：“凡此变量中函（包含）彼变量者，则此为彼之函数”。
1718年，约翰·伯努利 把函数定义为“一个变量的函数是指由这个变量和常量以任何一种方式组成的一种量。”
1748年，伯努利的学生欧拉 在《无穷分析引论》一书中说：“一个变量 的函数是由该变量和一些数或常量 以任何一种方式构成的解析表达式 ”，例如
f
(
x
)
=
sin
(
x
)
+
x
2
{\displaystyle f(x)=\sin(x)+x^2}
1775年，欧拉在《微分学原理》一书中又提出了函数的一个定义：“如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些量是后一些量的函数。”
19世纪的数学家开始对数学的各个分支进行形式化。维尔斯特拉斯 倡议将微积分学建立在算术 ，而不是几何 的基础上，这种主张较趋向于欧拉的定义。
函数的定义得以扩展之后，数学家便能对一些“奇怪”的数学对象进行研究，例如处处不可导的连续函数。这些函数曾经被认为只具有理论价值，迟至20世纪初时它们仍被视作“怪物”。稍后，人们发现这些函数在对如布朗运动 之类的物理现象进行建模时有重要的作用。
到19世纪末，数学家开始尝试利用集合论 来进行数学的形式化。他们试图将每一个数学对象都定义为集合 。狄利克雷 给出了现代正式的函数定义（参见下文#正式定义 ）。在他的定义下，函数被视作数学关系 的特例。然而对于实际应用的情况，现代定义和欧拉定义的区别可以忽略不计。 表示方法 分段函数 分段函数 （德语：Abschnittsweise definierte Funktion ），在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数通常叫分段函数。分段实际上是一种表达函数的方式，而不是函数本身的一个特征，但是具有额外的限定，可以描述函数的本质。
函数图形 函数
f
{\displaystyle f}
(
x
,
f
(
x
)
)
{\displaystyle (x,f(x))}
x
{\displaystyle x}
定义域 上的所有成员。函数图形可以帮助理解证明一些定理。
注意函数图形可以有两个定义：一是三元组
(
X
,
Y
,
G
)
{\displaystyle (X,Y,G)}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
G
{\displaystyle G}
关系的图 ；二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数
f
{\displaystyle f}
单射、满射与双射函数 单射 函数，将不同的输入值映射到不同的函数值。即：若
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
=
y
{\displaystyle x = y}
f
(
x
)
=
f
(
y
)
{\displaystyle f(x)= f(y)}
满射 函数，其值域即为其到达域。即：对于映射
f
{\displaystyle f}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle f(x)= y}
双射 函数，既是单射的又是满射的函数。也叫一一对应 、双射。双射函数经常被用于表明集合
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
势 的，即有一样的基数 。如果在两个集合 之间可以建立一个一一对应 ，则说这两个集合等势。定义域与值域、陪域 定义域：原像集，自变量的取值集合。
值域：像集，因变量的取值集合。
陪域：值域所属的全集。 像和原像 元素
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
f
{\displaystyle f}
像
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
子集
A
⊂
X
{\displaystyle A\subset X}
f
{\displaystyle f}
A
{\displaystyle A}
Y
{\displaystyle Y}
f
(
A
)
:=
{
f
(
x
)
:
x
∈
A
}
{\displaystyle f(A) := \{f(x) : x \in A\}}
注意
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
f
(
X
)
{\displaystyle f(X)}
#正式定义 一节的最后例子中，
{
2
,
3
}
{\displaystyle \{2,3\}}
f
{\displaystyle f}
f
(
{
2
,
3
}
=
{
c
,
d
}
{\displaystyle f(\{2, 3\}=\{c, d\}}
f
{\displaystyle f}
{
c
,
d
}
{\displaystyle \{c, d\}}
根据此定义，
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
幂集 （由
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
f
{\displaystyle f}
子集
B
⊂
Y
{\displaystyle B \subset Y}
f
{\displaystyle f}
原像 （或逆像 ）是如下定义的
X
{\displaystyle X}
f
−
1
(
B
)
:=
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
∈
B
}
{\displaystyle f^{-1}(B):=\{x \in X : f(x)\in B\}}
沿用同一例子，我们可以看到
{
a
,
b
}
{\displaystyle \{a, b\} }
f
−
1
(
{
a
,
b
}
)
=
∅
{\displaystyle f^{-1}(\{a, b\}) = \varnothing}
空集 。
根据此定义，
f
−
1
(
x
)
{\displaystyle f^{-1}(x)}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
以下是
f
{\displaystyle f}
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
f
(
A
1
∪
A
2
)
=
f
(
A
1
)
∪
f
(
A
2
)
{\displaystyle f(A_{1} \cup A_{2}) = f(A_{1}) \cup f(A_{2})}
f
(
A
1
∩
A
2
)
⊆
f
(
A
1
)
∩
f
(
A
2
)
{\displaystyle f(A_{1} \cap A_{2}) \subseteq f(A_{1}) \cap f(A_{2})}
f
(
B
1
∪
B
2
)
=
f
−
1
(
B
1
)
∪
f
−
1
(
B
2
)
{\displaystyle f(B_{1} \cup B_{2}) = f^{-1}(B_{1}) \cup f^{-1}(B_{2})}
f
−
1
(
B
1
∩
B
2
)
=
f
−
1
(
B
1
)
∩
f
−
1
(
B
2
)
{\displaystyle f^{-1}(B_{1} \cap B_{2}) = f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2})}
f
−
1
(
f
(
B
)
)
⊆
B
{\displaystyle f^{-1}(f(B)) \subseteq B}
f
−
1
(
f
(
A
)
)
⊇
A
{\displaystyle f^{-1}(f(A)) \supseteq A}
这些特性适合定义域的任意子集
A
,
A
1
{\displaystyle A, A_{1}}
A
2
{\displaystyle A_{2}}
子集
B
,
B
1
{\displaystyle B, B_{1}}
B
2
{\displaystyle B_{2}}
交集 和并集 。
函数范例 首都之于国家（若不把多首都国[1] 计算在内)。
每个自然数
n
{\displaystyle n}
n
2
{\displaystyle n^2}
n
{\displaystyle n}
对数函数 。
ln
x
{\displaystyle \ln x}
正 实数
x
{\displaystyle x}
对每个在
R
2
{\displaystyle \R^2}
原点
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0, 0)}
常用的数学函数包括多项式函数 、根式函数 、幂函数 、对数函数 、有理函数 、三角函数 、反三角函数 等。它们都是初等函数 。非初等函数（或特殊函数 ）包括伽马函数 和贝塞尔函数 等。
函数的分类 函数可分为
复合函数 函数
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f: X \to Y}
g
:
Y
→
Z
{\displaystyle g: Y \to Z}
复合函数 是
g
∘
f
:
X
→
Z
:
f
(
g
∘
f
)
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle g\circ f: X \to Z :f(g\circ f)(x) = g(f(x))}
举例，飞机在
t
{\displaystyle t}
h
(
t
)
{\displaystyle h(t)}
x
{\displaystyle x}
c
(
x
)
{\displaystyle c(x)}
t
{\displaystyle t}
(
c
∘
h
)
(
t
)
{\displaystyle (c\circ h)(t)}
若
Y
⊂
X
{\displaystyle Y\subset X}
f
{\displaystyle f}
f
2
{\displaystyle f^{ 2}}
三角学 的符号混淆）。函数的幂 的定义是对自然数
n
{\displaystyle n}
f
n
+
1
=
f
n
∘
f
=
f
∘
f
n
{\displaystyle f^{n+1} = f^{n} \circ f = f \circ f^{ n}}
反函数 对一个函数f : X →Y Y y 双射 的。对任意的y ∈Y ƒ−1 (y ) f f −1
举一个反函数的例子，比如ƒx ) = x 3 ƒ−1 (x ) = x 3 {\displaystyle \sqrt[ 3 ]{ x} } 2x x / 2 单调性 。参见逆映射 。
函数的限制及扩张 给出
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
f
:
Y
→
Z
{\displaystyle f:Y\rightarrow Z}
则
f
|
X
:
X
→
Z
{\displaystyle f|_X:X\rightarrow Z}
f
|
X
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle f|_X(x)=f(x)}
称为
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
限制
反之，若给出函数
g
:
X
→
Z
{\displaystyle g:X\to Z}
当一个定义在
Y
{\displaystyle Y}
f
:
Y
→
Z
{\displaystyle f:Y\to Z}
f
|
X
=
g
{\displaystyle f|_X=g}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
扩张
点态运算 设函数f : X → R g : X → R X 环 R f + g : X → R f ×g ：X → R
(f + g )x ) := ƒx ) + g x ); f ×g x ) := ƒx )×g x );对于所有X x
这样子我们得出一个函数组成的环。这是一个抽象性扩张的例子，由此我们从较简单的结构得出更复杂的。
若然用别的代数结构 A R X A A
歧义函数 歧义函数，也称多值函数 ，指有输出值多于一个的情况。例如，4的平方根 可以是2或者-2，而两者的平方 皆是4。
严格来说，歧义函数不完全算是函数，因为数学函数的定义对于一个输入值只能有唯一一个输出值。实际上，这样的“函数”通常被称为关系式 。复变函数 理论采用黎曼面 处理函数多值的困境。
一元函数 设 D 是实数集 R 中的非空子集，称映射 f : D -> R 为定义在 D 上的一元函数 。
多元函数 多元函数（n -元函数）是指输入值为n -元组n 个集合的笛卡尔积 的子集，这函数就是n -元函数。例如，距离函数dist ((x ,y ))是一个二元函数，输入值是由两个点组成的序对。另外，多复变函数 （即输入值为复数的多元组）是一个重要的数学课题。
在抽象代数 中，算子 其实都是函数，如乘法"*"是个二元函数：当我们写x *y 时，其实是用上了*(x ,y )的中缀表示法 。
函数式程序设计 是一个以函数概念为中心的重要理论范式，其中的运算对象为多元函数 ，基本语法 基于λ演算 ，而函数的复合 则采用代换 来完成。特别地，通过一种称为柯里化 的变换，可将多元函数变换为一元函数。
可计算和不可计算函数 所有从整数到整数的可计算函数 的个数是可数 的，这是因为所有可能的算法个数是可数的。从整数到整数的函数个数要更多些－和实数 个数一样多，也就是说是等势 的。这说明有些从整数到整数的函数是不可计算的。关于不可计算函数，请参看停机问题 和莱斯定理 ，OEIS 中有一个经典的例子：A102288
范畴论观点下的函数 在范畴论 中，函数的槪念被推广为态射 的槪念。
一个范畴 包括一组对象与一组态射，每一个态射是个三元组(X , Y , f )，X 称为源对象（定义域的类比），Y 称为目标对象（到达域的类比），而源对象与目标对象是范畴内的对象。基于这种解释，可以把函数看作集合范畴 里面的态射。
参考文献 外部链接 
A102288。