有序對

在數學中，有序對是兩個對象的搜集，使得可以區分出其中一個是「第一個元素」而另一個是「第二個元素」（第一個元素和第二個元素也叫做左投影和右投影）。帶有第一個元素a和第二個元素b的有序對通常寫為(a, b)。

符號(a, b)也表示在實數軸上的開區間；在有歧義的場合可使用符號 $\langle a,b\rangle$ 。

一般性

設(a₁, b₁)和(a₂, b₂)是兩個有序對。則有序對的特徵或定義性質為：

(a_1, b_1) = (a_2, b_2) \leftrightarrow (a_1 = a_2 \land b_1 = b_2)

有序對可以有其他有序對作為投影。所以有序對使得能夠遞歸定義有序n-元組（n項的列表）。例如，有序三元組 (a,b,c)可以定義為(a, (b,c))，一個對嵌入了另一個對。這種方法也反映在計算機程式語言中，就是從嵌套的有序對構造元素的列表。例如，列表 (1 2 3 4 5)變成了(1, (2, (3, (4, (5, {} )))))。Lisp程式語言使用這種列表作為基本資料結構。

有序對的概念對於定義笛卡爾積和關係是至關重要的。

有序對的集合論定義

諾伯特·維納在1914年提議了有序對的第一個集合論定義：

(x,y) \equiv_{def} \{\{\{x\},\emptyset\},\{\{y\}\}\}

他注意到這個定義將允許《數學原理》中所有類型只透過集合便能表達。（在《數學原理》中，所有元數的關係都是原始概念。）

標準Kuratowski定義

在公理化集合論中，有序對(a,b)通常定義為庫拉托夫斯基對：

(a,b)_K \equiv_{def} \{\{a\},\{a,b\}\}

陳述「x是有序對p的第一個元素」可以公式化為

\forall \ Y \in p : x \in Y

而陳述「x是p的第二個元素」為

(\exist \ Y \in p : x \in Y) \land (\forall \ Y_1 \in p, \forall \ Y_2 \in p : Y_1 \neq Y_2 \rightarrow (x \notin Y_1 \lor x \notin Y_2))

注意這個定義對於有序對p = (x,x) = { {x}, {x,x} } = { {x}, {x} } = { {x} }仍是有效的；在這種情況下陳述(∀ Y₁ ∈ p, ∀ Y₂ ∈ p : Y₁ ≠ Y₂ → (x ∉ Y₁ ∨ x ∉ Y₂))顯然是真的，因為不會有Y₁ ≠ Y₂的情況。

變體定義

上述有序對的定義是「充足」的，在它滿足有序對必須有的特徵性質（也就是：如果(a,b)=(x,y)則a=x且b=y）的意義上，但也是任意性的，因為有很多其他定義也是不更加複雜並且也是充足的。例如下列可能的定義

(a,b)_reverse:= { {b}, {a,b} }
(a,b)_short:= { a, {a,b} }
(a, b)₀₁:= { {0,a}, {1,b} }

「逆」（reverse）對基本不使用，因為它比通用的Kuratowski對沒有明顯的優點（或缺點）。「短」（short）對有一個缺點，它的特徵性質的證明會比Kuratowski對的證明更加複雜（要使用正規公理）；此外，因為在集合論中數2有時定義為集合{ 0, 1 } = { {}, {0} }，這將意味著2是對 (0,0)_short。

證明有序對的特徵性質

Kuratowski對：證明：(a,b)_K = (c,d)_K若且唯若a=c且b=d。

僅當：

如果a=b，則 (a,b)_K = {{a}, {a,a}} = { {a} }，且 (c,d)_K = {{c},{c,d}} = { {a} }。所以{c} = {a} = {c,d}，或c=d=a=b。

如果a≠b，則{{a}, {a,b}} = {{c},{c,d}}。

如果{c,d} = {a}，則c=d=a或{{c},{c,d}} = {{a}, {a,a}} = {{a}, {a}} = { {a} }。但這樣{{a}, {a, b}}就會等於{{a}}，繼而b = a，跟先前的假設矛盾。

如果{c} = {a,b}，則a=b=c，這矛盾於a≠b。所以{c} = {a}，即c=a，且{c,d} = {a,b}。

並且如果d=a，則{c,d} = {a,a} = {a}≠{a,b}。所以d=b。

所以同樣有a=c且b=d。

當：

反過來，如果a=c並且b=d，則顯然{{a},{a,b}} = {{c},{c,d}}。所以 (a,b)_K = (c,d)_K。

逆對： (a,b)_reverse = {{b},{a,b}} = {{b},{b,a}} = (b,a)_K。

如果 (a,b)_reverse = (c,d)_reverse，則 (b,a)_K = (d,c)_K。所以b=d且a=c。

反過來，如果a=c和b=d，則顯然{{b},{a,b}} = {{d},{c,d}}。所以 (a,b)_reverse = (c,d)_reverse。

Quine-Rosser定義

Rosser（1953年）^[1]擴展了蒯因的有序對定義。Quine-Rosser的定義要求自然數的先決定義。設 $\N$ 是自然數的集合， $x \setminus \N$ 是 $\N$ 在 $x$ 內的相對差集，並定義：

\varphi(x) = (x \setminus \N) \cup \{n+1 : n \in (x \cap \N) \}

φ(x)包含在x中所有自然數的後繼，和x中的所有非數成員。特別是，φ(x)不包含數0，所以對於任何集合A和B， $\phi(A) \not= \{0\} \cup \phi(B)$ 。

以下是有序對 (A,B)的定義：

(A, B) = \{\varphi(a) : a \in A\} \cup \{\varphi(b) \cup \{0\} : b \in B \}.

提取這個對中那些不包含0的所有元素，然後再還原 $\varphi$ 的作用，就得出了A。類似的，B可以通過提取這個對的包含0的所有元素來復原。

有序對的這個定義有個顯著的優點。在類型論和從類型論派生出的集合論如新基礎中，這個對與它的投影有相同的類型（所以術語叫做「類型齊平」有序對）。因此一個函數（定義為有序對的集合），有隻比序對的投影的類型高1的類型。對蒯因集合論中有序對的廣泛的討論請參見Holmes (1998)。^[2]

Morse定義

Morse（1965年）^[3]提出的Morse-Kelley集合論可以自由的使用真類。Morse定義有序對的方法，使得它的投影可以是真類或者集合。（Kuratowski定義不允許這樣）。它首先像Kuratowski的方式那樣，定義投影為集合的有序對。接著，他重定義對 (x,y)為

(x, y) = (\{0\} \times s(x)) \cup (\{1\} \times s(y))

這裡的笛卡爾積是指由Kuratowski對組成的集合併且

s(x) = \{\emptyset \} \cup \{\{t\} | t \in x\}

這便允許了定義以真類為投影的有序對。

參見

引用

↑ J. Barkley Rosser, 1953. Logic for Mathematicians. McGraw-Hill.
↑ Holmes, Randall (1998) Elementary Set Theory with a Universal Set . Academia-Bruylant. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this monograph via the web. Copyright is reserved.
↑ Morse, Anthony P., 1965. A Theory of Sets. Academic Press

[1] J. Barkley Rosser, 1953. Logic for Mathematicians. McGraw-Hill.

[2] Holmes, Randall (1998) Elementary Set Theory with a Universal Set . Academia-Bruylant. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this monograph via the web. Copyright is reserved.

[3] Morse, Anthony P., 1965. A Theory of Sets. Academic Press

[1]

[2]

[3]

各種函數
$x \mapsto f (x)$
不同定義域和陪域
$X$ → $\mathbb B$ , $\mathbb B$ → $X$ , $\mathbb B^n$ → $\mathbb B$ $X$ → $\Z$ , $\Z^+$ → $X$ $X$ → $\R$ , $\R$ → $X$ , $\R^n$ → $X$ $X$ → $\C$ , $\C$ → $X$ , $\C^n$ → $X$
函數類/性質
常值恆等線性多項式有理代數解析光滑連續可測單射滿射雙射
構造
限制複合 λ 逆
推廣
偏多值隱
閱論編