除去因摩擦 与传热 因素所造成的微小损失,在台球 运动里,可以很明显的观察到,所有圆球都遵循动量守恒定律 。当圆球A击中圆球B时,假若圆球A因此停住,则它的原本动量都会传给圆球B;假若圆球A仍旧移动,则它的原本动量只有一部分会传给圆球B,剩余的动量存留在圆球A。
在经典力学 里,动量 (momentum)被量化 为物体的质量 和速度 的乘积。例如,一辆快速移动的重型卡车拥有很大的动量。若要使这重型卡车从零速度加速到移动速度,则需要使到很大的作用力;若要使重型卡车从移动速度减速到零,则也需要使到很大的作用力;若卡车轻一点或移动速度慢一点,则它的动量也会小一点。
动量在国际单位制 中的单位为kg·m/s。有关动量的更精确的量度的内容,请参见本页的动量的现代定义 部分。
一般而言,一个物体 的动量指的是这个物体在它运动方向上保持运动的趋势 。动量实际上是牛顿第一定律 的一个推论。动量是个矢量 ,其方向与速度方向相同。动量同时也是一个守恒 量,这表示为在一个封闭系统 内动量的总和不可改变。在经典力学 中,动量守恒暗含在牛顿定律中,但在狭义相对论 中依然成立,(广义)动量在电动力学 、量子力学 、量子场论 、广义相对论 中也成立。
勒内·笛卡儿 认为宇宙中总的“运动的量”是保持守恒的,这里所说的“运动的量”被理解为“物体大小和速度的乘积”——但这不宜被解读为现代动量定律的表达方式,因为笛卡尔并没有把“质量”这个概念与物体“重量”和“大小”之间的关系区分开来,更重要的是他认为速率(标量)而不是速度(矢量)是守恒的。因此对于笛卡儿来说:一个移动的物体从另一个表面弹回来的时候,该物体的方向发生了改变但速率没有发生改变,运动的量应该没有发生改变[1] [2] 。
经典力学中的动量
物体在任何一个参考系 中运动时,它都具有在该参考系 中的动量。需要注意的是,动量是一个参考系决定量。也就是说,同一个物体在一个参考系中具有确定的动量,但在另一个参考系中却有可能具有不同的动量。
物体动量的数值取决于两个物理量的数值:运动物体在参考系 中的质量 与速度 。在物理学中,动量以小写的
p
{\displaystyle \mathbf{p}}
(黑体代表
p
{\displaystyle \mathbf{p}}
是一个矢量 )表示,动量的定义如下:
p
=
m
v
{\displaystyle \mathbf{p} = m\mathbf{v} }
动量对时间的一阶导数 的定义如下:
d
p
d
t
=
d
(
m
v
)
d
t
=
m
d
v
d
t
+
v
d
m
d
t
{\displaystyle {\frac {\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d}t}} = \frac {\mathrm{d} (m\mathbf{v})}{\mathrm{d}t} = m \frac {\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d}t}+v \frac {\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}}
其中p 为动量,t为时间,d为微分 算符。
当物体在运动中质量不变的情形下,
d
m
d
t
=
0
{\displaystyle \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}=0}
,此时,可以将动量对时间的一阶导数简写作
d
p
d
t
=
m
d
v
d
t
{\displaystyle {\frac {\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d}t}} = m \frac {\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d}t} }
一个物体的速度包括了该物体的速率与运动方向。因为动量由速度决定,所以动量也具有数量 与方向,是一个空间 矢量 。例如,要表示出5 kg的保龄球的动量的话,可以以它有以2m/s的速率向西运动的状态来说明;但是,只认为该保龄球具有10 kg·m/s的动量的想法是不全面的,因为没有表示出它的运动方向。
定理
动量定理 指出:
∑
I
=
Δ
p
{\displaystyle \sum \mathbf{I} = \Delta \mathbf{p}}
推导
设一个质量为m的物体,初速度 为v,那么初动量为p=mv,在合力F的作用下,经过一段时间t速度变为
v
′
{\displaystyle v'}
,末动量则变为p ′ = m v ′ {\displaystyle p'=mv'} 。物体的加速度 为a = v ′ − v t {\displaystyle a= \frac{v'-v}{t} } 。由牛顿第二定律 F = m a = m v ′ − m v t {\displaystyle F=ma= \frac{mv'-mv}{t} } 可得F t = m v ′ − m v {\displaystyle Ft=mv'-mv } ,即F t = p ′ − p {\displaystyle Ft=p'-p } 。 在动量定理的推导过程中,我们假定合力F是恒定的,但是在实际生活当中要比这个复杂的多。如用球拍击打球或是用脚踢踢球时作用力就不是恒定的。但可以证明[3] ,动量定理不但适用于恒力,也可以随时间而变化的变力,对于变力的情况,动量定理中的F应理解为在作用时间内的平均值。此时作用力
F
=
d
p
d
t
{\displaystyle \mathbf{F}= \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} }
也称作动量的变化率。
碰撞中的动量守恒
动量具有一个特殊属性:只要是在一个封闭系统 中,它总会保持恒定,即使是物体碰撞 发生时。而对动能 而言,非弹性碰撞 的物体的动能将不会守恒。因此,当碰撞过后可利用动量守恒来计算未知速度。
在物理学上,这个特殊属性被用来来解决两个相碰物体的问题。因为动量始终保持恒定,碰撞前动量的总和一定与碰撞后动量的总和相等:
m
1
v
1
i
+
m
2
v
2
i
=
m
1
v
1
f
+
m
2
v
2
f
{\displaystyle m_1 \mathbf{v}_{1\text{i}} + m_2 \mathbf{v}_{2\text{i}} = m_1 \mathbf{v}_{1\text{f}} + m_2 \mathbf{v}_{2\text{f}}}
其中,i表示碰撞前的初量,f表示碰撞后的末量。要注意的是此时
v
{\displaystyle \mathbf{v}}
为矢量 。
通常来说,我们只需知道碰撞前(或碰撞后)物体的速度便可计算出碰撞后(或碰撞前)物体的速度。碰撞有两种类型,两种类型中动量都守恒:
弹性碰撞
弹性碰撞的一个较好的例子是两个台球之间的碰撞。当两个球相碰时,除了动量保持恒定外,碰撞前后动能的总和也将保持不变:
1
2
m
1
v
1
i
2
+
1
2
m
2
v
2
i
2
=
1
2
m
1
v
1
f
2
+
1
2
m
2
v
2
f
2
{\displaystyle \frac{1}{2} m_1 v_{1\text{i}}^2
+ \frac{1}{2} m_2 v_{2\text{i}}^2
= \frac{1}{2} m_1 v_{1\text{f}}^2
+ \frac{1}{2} m_2 v_{2\text{f}}^2}
因为每个因式中都含有系数
1
2
{\displaystyle \frac{1}{2}}
,所以亦可将该系数移除。
正向碰撞(一维)
正碰即对心碰撞 (head on collision),两物体沿着一条直线碰撞后仍沿原来直线运动,属于弹性碰撞中的一种。
m
1
v
1
i
+
m
2
v
2
i
=
m
1
v
1
f
+
m
2
v
2
f
{\displaystyle m_1 v_{1\text{i}} + m_2 v_{2\text{i}} = m_1 v_{1\text{f}} + m_2 v_{2\text{f}}}
1
2
m
1
v
1
i
2
+
1
2
m
2
v
2
i
2
=
1
2
m
1
v
1
f
2
+
1
2
m
2
v
2
f
2
{\displaystyle \frac{1}{2}m_1v_{1\text{i}}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2\text{i}}^2 = \frac{1}{2}m_1v_{1\text{f}}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2\text{f}}^2}
联立两方程可得出,两物体最终速度
v
1
f
=
m
1
−
m
2
m
1
+
m
2
v
1
i
+
2
m
2
m
1
+
m
2
v
2
i
{\displaystyle v_{1\text{f}} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_{1\text{i}} + \frac{2 m_2}{m_1 + m_2}v_{2\text{i}}}
v
2
f
=
2
m
1
m
1
+
m
2
v
1
i
+
m
2
−
m
1
m
1
+
m
2
v
2
i
{\displaystyle v_{2\text{f}} = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_{1\text{i}} + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} v_{2\text{i}}}
斜向碰撞(二维)
可以分别以
x
{\displaystyle x}
方向以及
y
{\displaystyle y}
方向的动量守恒决定出碰撞前后的速度关系。
动量守恒定律
动量是守恒量 。动量守恒定律 表示为:一个系统不受外力或者所受外力之和为零,这个系统中所有物体的总动量保持不变。它的一个推论为:在没有外力干预的情况下,任何系统的质心 都将保持匀速直线运动 或静止状态不变。动量守恒定律可由机械能对空间平移对称性推出。
在隔离系统(不存在外力)中总动量将是一个守恒量,这暗含在牛顿运动第一定律 之中。
因为动量是矢量,所以子弹 从起先静止的枪 中射出后,尽管子弹和枪都在运动,但由于子弹的动量与枪的动量等值反向,它们相互抵消,使得子弹与枪形成的系统中动量的总和依然为零。
若有系统外合(净)力为零,则系统内各质点相互作用力亦为零(可视为牛顿第三定律,作用力反作用力原理),故动量变化为零,所以动量守恒。定律具有普遍意义,适用于宏观 、微观 。
动量的现代定义
相对论力学中的动量
在相对论力学 中,动量被定义为:
p
=
γ
m
u
{\displaystyle \mathbf{p} = \gamma m\mathbf{u} }
其中:
m
{\displaystyle m}
表示运动物体的静止质量;
γ
=
1
1
−
u
2
/
c
2
{\displaystyle \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}}
;
u 表示物体与观察者之间的相对速度;
c 表示光速 。
当物体在低速极限(u/c -> 0)下运动时,相对论力学的动量式可变化为牛顿力学的动量式:
m
u
{\displaystyle m\mathbf{u} }
。
阿尔伯特·爱因斯坦 由洛伦兹变换 下的四维矢量 守恒发展提出了相对论的四维动量 。其中四维矢量 可从量子场论 使用格林函数 自然导出。四维动量被定义为:
(
E
c
,
p
x
,
p
y
,
p
z
)
{\displaystyle \left( {E \over c} , p_x , p_y ,p_z \right)}
其中,
p
x
{\displaystyle p_x}
表示相对论 动量的
x
{\displaystyle x}
分量,
E
{\displaystyle E}
表示系统的总能量:
E
=
γ
m
c
2
{\displaystyle E = \gamma mc^2 \;}
令速度等于零,可得到一个物体的静止质量和能量之间的关系E=mc² 。
矢量的“长度”保持恒定被定义为:
p
⋅
p
−
E
2
/
c
2
{\displaystyle \mathbf{p} \cdot \mathbf{p} - E^2/c^2 }
无静止质量物体的动量
无静止质量 物体,譬如光子 亦有动量。计算的公式为:
p
=
h
λ
=
E
c
{\displaystyle p = \frac{h}{\lambda} = \frac{E}{c} }
其中
h
{\displaystyle h}
表示普朗克常量 ;
λ
{\displaystyle \lambda}
表示光子的波长;
E
{\displaystyle E}
表示光子的能量 ;
c
{\displaystyle c}
表示光速 。
动量的普适性
动量是平移守恒的诺特荷 。因此,甚至连场 也与其他物质一样具有动量,而不止是粒子 。但是,在弯曲时空 (非闵可夫斯基 式)中,动量根本没有被定义。
量子力学中的动量
在量子力学 中,动量被定义为波函数 的一个算符 。海森堡 不确定性原理 定义了单一观测系统中一次测定动量和位置的精确极限。在量子力学中,动量与位置是一对共轭物理量 。
对单个不带电荷 且没有自旋 的粒子来说,动量算符可被写作:
p
=
ℏ
i
∇
=
−
i
ℏ
∇
{\displaystyle \mathbf{p}={\hbar\over i}\nabla=-i\hbar\nabla}
其中,
∇
{\displaystyle \nabla}
表示梯度 算符。这是动量算符的一个普通形式,而非最普遍的一个。
电磁学中的动量守恒
当电场和/或磁场移动时,它们带有动量。电磁波(可见光、紫外线、无线电波等)也有动量,即使是没有静止质量的光子 ,也同样带有动量。这被应用在诸如太阳帆 上。
参考文献
↑ Daniel Garber. Descartes' Physics. John Cottingham (编). The Cambridge Companion to Descartes. Cambridge: Cambridge University Press. 1992: 310–319. ISBN 0-521-36696-8 .
↑ Rothman, Milton A. Discovering the natural laws : the experimental basis of physics 2nd. New York: Dover Publications. 1989: 83–88. ISBN 9780486261782 .
↑ 人民教育出版社物理室《全日制普通高级中学教科书物理》第二册ISBN 978-7-107-16500-9
参看条目
线性(平动)的量
角度(转动)的量
量纲
—
L
L2
量纲
—
—
—
T
时间 : t s
absement : A m s
T
时间 : t s
—
距离 : d , 位矢 : r , s , x , 位移 m
面积 : A m2
—
角度 : θ , 角移 : θ rad
立体角 : Ω rad2 , sr
T−1
频率 : f s−1 , Hz
速率 : v , 速度 : v m s−1
面积速率 : ν ,比角动量 : h m2 s−1
T−1
频率 : f s−1 , Hz
角速率 : ω , 角速度 : ω rad s−1
T−2
加速度 : a m s−2
T−2
角加速度 : α rad s−2
T−3
加加速度 : j m s−3
T−3
角加加速度 : ζ rad s−3
M
质量 : m kg
ML2
转动惯量 : I kg m2
MT−1
动量 : p , 冲量 : J kg m s−1 , N s
作用量 : 𝒮 , actergy : ℵ kg m2 s−1 , J s
ML2 T−1
角动量 : L , 角冲量: ΔL kg m2 s−1
作用量 : 𝒮 , actergy : ℵ kg m2 s−1 , J s
MT−2
力 : F , 重量 : F g kg m s−2 , N
能量 : E , 功 : W kg m2 s−2 , J
ML2 T−2
力矩 : τ , moment : M kg m2 s−2 , N m
能量 : E , 功 : W kg m2 s−2 , J
MT−3
yank : Y kg m s−3 , N s−1
功率 : P kg m2 s−3 , W
ML2 T−3
rotatum : P kg m2 s−3 , N m s−1
功率 : P kg m2 s−3 , W