除去因摩擦 與傳熱 因素所造成的微小損失,在桌球 運動裏,可以很明顯的觀察到,所有圓球都遵循動量守恆定律 。當圓球A擊中圓球B時,假若圓球A因此停住,則它的原本動量都會傳給圓球B;假若圓球A仍舊移動,則它的原本動量只有一部分會傳給圓球B,剩餘的動量存留在圓球A。
在經典力學 裏,動量 (momentum)被量化 為物體的質量 和速度 的乘積。例如,一輛快速移動的重型卡車擁有很大的動量。若要使這重型卡車從零速度加速到移動速度,則需要使到很大的作用力;若要使重型卡車從移動速度減速到零,則也需要使到很大的作用力;若卡車輕一點或移動速度慢一點,則它的動量也會小一點。
動量在國際單位制 中的單位為kg·m/s。有關動量的更精確的量度的內容,請參見本頁的動量的現代定義 部分。
一般而言,一個物體 的動量指的是這個物體在它運動方向上保持運動的趨勢 。動量實際上是牛頓第一定律 的一個推論。動量是個向量 ,其方向與速度方向相同。動量同時也是一個守恆 量,這表示為在一個封閉系統 內動量的總和不可改變。在經典力學 中,動量守恆暗含在牛頓定律中,但在狹義相對論 中依然成立,(廣義)動量在電動力學 、量子力學 、量子場論 、廣義相對論 中也成立。
勒內·笛卡兒 認為宇宙中總的「運動的量」是保持守恆的,這裏所說的「運動的量」被理解為「物體大小和速度的乘積」——但這不宜被解讀為現代動量定律的表達方式,因為笛卡爾並沒有把「質量」這個概念與物體「重量」和「大小」之間的關係區分開來,更重要的是他認為速率(純量)而不是速度(向量)是守恆的。因此對於笛卡兒來說:一個移動的物體從另一個表面彈回來的時候,該物體的方向發生了改變但速率沒有發生改變,運動的量應該沒有發生改變[1] [2] 。
經典力學中的動量
物體在任何一個參考系 中運動時,它都具有在該參考系 中的動量。需要注意的是,動量是一個參考系決定量。也就是說,同一個物體在一個參考系中具有確定的動量,但在另一個參考系中卻有可能具有不同的動量。
物體動量的數值取決於兩個物理量的數值:運動物體在參考系 中的質量 與速度 。在物理學中,動量以小寫的
p
{\displaystyle \mathbf{p}}
(黑體代表
p
{\displaystyle \mathbf{p}}
是一個向量 )表示,動量的定義如下:
p
=
m
v
{\displaystyle \mathbf{p} = m\mathbf{v} }
動量對時間的一階導數 的定義如下:
d
p
d
t
=
d
(
m
v
)
d
t
=
m
d
v
d
t
+
v
d
m
d
t
{\displaystyle {\frac {\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d}t}} = \frac {\mathrm{d} (m\mathbf{v})}{\mathrm{d}t} = m \frac {\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d}t}+v \frac {\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}}
其中p 為動量,t為時間,d為微分 算符。
當物體在運動中質量不變的情形下,
d
m
d
t
=
0
{\displaystyle \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}=0}
,此時,可以將動量對時間的一階導數簡寫作
d
p
d
t
=
m
d
v
d
t
{\displaystyle {\frac {\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d}t}} = m \frac {\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d}t} }
一個物體的速度包括了該物體的速率與運動方向。因為動量由速度決定,所以動量也具有數量 與方向,是一個空間 向量 。例如,要表示出5 kg的保齡球的動量的話,可以以它有以2m/s的速率向西運動的狀態來說明;但是,只認為該保齡球具有10 kg·m/s的動量的想法是不全面的,因為沒有表示出它的運動方向。
定理
動量定理 指出:
∑
I
=
Δ
p
{\displaystyle \sum \mathbf{I} = \Delta \mathbf{p}}
推導
設一個質量為m的物體,初速度 為v,那麼初動量為p=mv,在淨力F的作用下,經過一段時間t速度變為
v
′
{\displaystyle v'}
,末動量則變為p ′ = m v ′ {\displaystyle p'=mv'} 。物體的加速度 為a = v ′ − v t {\displaystyle a= \frac{v'-v}{t} } 。由牛頓第二定律 F = m a = m v ′ − m v t {\displaystyle F=ma= \frac{mv'-mv}{t} } 可得F t = m v ′ − m v {\displaystyle Ft=mv'-mv } ,即F t = p ′ − p {\displaystyle Ft=p'-p } 。 在動量定理的推導過程中,我們假定淨力F是恆定的,但是在實際生活當中要比這個複雜的多。如用球拍擊打球或是用腳踢踢球時作用力就不是恆定的。但可以證明[3] ,動量定理不但適用於定力,也可以隨時間而變化的變力,對於變力的情況,動量定理中的F應理解為在作用時間內的平均值。此時作用力
F
=
d
p
d
t
{\displaystyle \mathbf{F}= \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} }
也稱作動量的變化率。
碰撞中的動量守恆
動量具有一個特殊屬性:只要是在一個封閉系統 中,它總會保持恆定,即使是物體碰撞 發生時。而對動能 而言,非彈性碰撞 的物體的動能將不會守恆。因此,當碰撞過後可利用動量守恆來計算未知速度。
在物理學上,這個特殊屬性被用來來解決兩個相碰物體的問題。因為動量始終保持恆定,碰撞前動量的總和一定與碰撞後動量的總和相等:
m
1
v
1
i
+
m
2
v
2
i
=
m
1
v
1
f
+
m
2
v
2
f
{\displaystyle m_1 \mathbf{v}_{1\text{i}} + m_2 \mathbf{v}_{2\text{i}} = m_1 \mathbf{v}_{1\text{f}} + m_2 \mathbf{v}_{2\text{f}}}
其中,i表示碰撞前的初量,f表示碰撞後的末量。要注意的是此時
v
{\displaystyle \mathbf{v}}
為向量 。
通常來說,我們只需知道碰撞前(或碰撞後)物體的速度便可計算出碰撞後(或碰撞前)物體的速度。碰撞有兩種類型,兩種類型中動量都守恆:
彈性碰撞
彈性碰撞的一個較好的例子是兩個桌球之間的碰撞。當兩個球相碰時,除了動量保持恆定外,碰撞前後動能的總和也將保持不變:
1
2
m
1
v
1
i
2
+
1
2
m
2
v
2
i
2
=
1
2
m
1
v
1
f
2
+
1
2
m
2
v
2
f
2
{\displaystyle \frac{1}{2} m_1 v_{1\text{i}}^2
+ \frac{1}{2} m_2 v_{2\text{i}}^2
= \frac{1}{2} m_1 v_{1\text{f}}^2
+ \frac{1}{2} m_2 v_{2\text{f}}^2}
因為每個因式中都含有係數
1
2
{\displaystyle \frac{1}{2}}
,所以亦可將該係數移除。
正向碰撞(一維)
正碰即對心碰撞 (head on collision),兩物體沿着一條直線碰撞後仍沿原來直線運動,屬於彈性碰撞中的一種。
m
1
v
1
i
+
m
2
v
2
i
=
m
1
v
1
f
+
m
2
v
2
f
{\displaystyle m_1 v_{1\text{i}} + m_2 v_{2\text{i}} = m_1 v_{1\text{f}} + m_2 v_{2\text{f}}}
1
2
m
1
v
1
i
2
+
1
2
m
2
v
2
i
2
=
1
2
m
1
v
1
f
2
+
1
2
m
2
v
2
f
2
{\displaystyle \frac{1}{2}m_1v_{1\text{i}}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2\text{i}}^2 = \frac{1}{2}m_1v_{1\text{f}}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2\text{f}}^2}
聯立兩方程式可得出,兩物體最終速度
v
1
f
=
m
1
−
m
2
m
1
+
m
2
v
1
i
+
2
m
2
m
1
+
m
2
v
2
i
{\displaystyle v_{1\text{f}} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_{1\text{i}} + \frac{2 m_2}{m_1 + m_2}v_{2\text{i}}}
v
2
f
=
2
m
1
m
1
+
m
2
v
1
i
+
m
2
−
m
1
m
1
+
m
2
v
2
i
{\displaystyle v_{2\text{f}} = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_{1\text{i}} + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} v_{2\text{i}}}
斜向碰撞(二維)
可以分別以
x
{\displaystyle x}
方向以及
y
{\displaystyle y}
方向的動量守恆決定出碰撞前後的速度關係。
動量守恆定律
動量是守恆量 。動量守恆定律 表示為:一個系統不受外力或者所受外力之和為零,這個系統中所有物體的總動量保持不變。它的一個推論為:在沒有外力干預的情況下,任何系統的質心 都將保持勻速直線運動 或靜止狀態不變。動量守恆定律可由力學能對空間平移對稱性推出。
在隔離系統(不存在外力)中總動量將是一個守恆量,這暗含在牛頓運動第一定律 之中。
因為動量是向量,所以子彈 從起先靜止的槍 中射出後,儘管子彈和槍都在運動,但由於子彈的動量與槍的動量等值反向,它們相互抵消,使得子彈與槍形成的系統中動量的總和依然為零。
若有系統外合(淨)力為零,則系統內各質點相互作用力亦為零(可視為牛頓第三定律,作用力反作用力原理),故動量變化為零,所以動量守恆。定律具有普遍意義,適用於宏觀 、微觀 。
動量的現代定義
相對論力學中的動量
在相對論力學 中,動量被定義為:
p
=
γ
m
u
{\displaystyle \mathbf{p} = \gamma m\mathbf{u} }
其中:
m
{\displaystyle m}
表示運動物體的靜止質量;
γ
=
1
1
−
u
2
/
c
2
{\displaystyle \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}}
;
u 表示物體與觀察者之間的相對速度;
c 表示光速 。
當物體在低速極限(u/c -> 0)下運動時,相對論力學的動量式可變化為牛頓力學的動量式:
m
u
{\displaystyle m\mathbf{u} }
。
阿爾伯特·愛因斯坦 由勞倫茲變換 下的四維向量 守恆發展提出了相對論的四維動量 。其中四維向量 可從量子場論 使用格林函數 自然導出。四維動量被定義為:
(
E
c
,
p
x
,
p
y
,
p
z
)
{\displaystyle \left( {E \over c} , p_x , p_y ,p_z \right)}
其中,
p
x
{\displaystyle p_x}
表示相對論 動量的
x
{\displaystyle x}
分量,
E
{\displaystyle E}
表示系統的總能量:
E
=
γ
m
c
2
{\displaystyle E = \gamma mc^2 \;}
令速度等於零,可得到一個物體的靜止質量和能量之間的關係E=mc² 。
向量的「長度」保持恆定被定義為:
p
⋅
p
−
E
2
/
c
2
{\displaystyle \mathbf{p} \cdot \mathbf{p} - E^2/c^2 }
無靜止質量物體的動量
無靜止質量 物體,譬如光子 亦有動量。計算的公式為:
p
=
h
λ
=
E
c
{\displaystyle p = \frac{h}{\lambda} = \frac{E}{c} }
其中
h
{\displaystyle h}
表示普朗克常數 ;
λ
{\displaystyle \lambda}
表示光子的波長;
E
{\displaystyle E}
表示光子的能量 ;
c
{\displaystyle c}
表示光速 。
動量的普適性
動量是平移守恆的諾特荷 。因此,甚至連場 也與其他物質一樣具有動量,而不止是粒子 。但是,在彎曲時空 (非閔考斯基 式)中,動量根本沒有被定義。
量子力學中的動量
在量子力學 中,動量被定義為波函數 的一個算符 。海森堡 不確定性原理 定義了單一觀測系統中一次測定動量和位置的精確極限。在量子力學中,動量與位置是一對共軛物理量 。
對單個不帶電荷 且沒有自旋 的粒子來說,動量算符可被寫作:
p
=
ℏ
i
∇
=
−
i
ℏ
∇
{\displaystyle \mathbf{p}={\hbar\over i}\nabla=-i\hbar\nabla}
其中,
∇
{\displaystyle \nabla}
表示梯度 算符。這是動量算符的一個普通形式,而非最普遍的一個。
電磁學中的動量守恆
當電場和/或磁場移動時,它們帶有動量。電磁波(可見光、紫外線、無線電波等)也有動量,即使是沒有靜止質量的光子 ,也同樣帶有動量。這被應用在諸如太陽帆 上。
參考文獻
↑ Daniel Garber. Descartes' Physics. John Cottingham (編). The Cambridge Companion to Descartes. Cambridge: Cambridge University Press. 1992: 310–319. ISBN 0-521-36696-8 .
↑ Rothman, Milton A. Discovering the natural laws : the experimental basis of physics 2nd. New York: Dover Publications. 1989: 83–88. ISBN 9780486261782 .
↑ 人民教育出版社物理室《全日制普通高級中學教科書物理》第二冊ISBN 978-7-107-16500-9
參看條目
線性(平動)的量
角度(轉動)的量
因次
—
L
L2
因次
—
—
—
T
時間 : t s
absement : A m s
T
時間 : t s
—
距離 : d , 位矢 : r , s , x , 位移 m
面積 : A m2
—
角度 : θ , 角移 : θ rad
立體角 : Ω rad2 , sr
T−1
頻率 : f s−1 , Hz
速率 : v , 速度 : v m s−1
面積速率 : ν ,比角動量 : h m2 s−1
T−1
頻率 : f s−1 , Hz
角速率 : ω , 角速度 : ω rad s−1
T−2
加速度 : a m s−2
T−2
角加速度 : α rad s−2
T−3
加加速度 : j m s−3
T−3
角加加速度 : ζ rad s−3
M
質量 : m kg
ML2
轉動慣量 : I kg m2
MT−1
動量 : p , 衝量 : J kg m s−1 , N s
作用量 : 𝒮 , actergy : ℵ kg m2 s−1 , J s
ML2 T−1
角動量 : L , 角衝量: ΔL kg m2 s−1
作用量 : 𝒮 , actergy : ℵ kg m2 s−1 , J s
MT−2
力 : F , 重量 : F g kg m s−2 , N
能量 : E , 功 : W kg m2 s−2 , J
ML2 T−2
力矩 : τ , moment : M kg m2 s−2 , N m
能量 : E , 功 : W kg m2 s−2 , J
MT−3
yank : Y kg m s−3 , N s−1
功率 : P kg m2 s−3 , W
ML2 T−3
rotatum : P kg m2 s−3 , N m s−1
功率 : P kg m2 s−3 , W