参考系

参考系，又称参照系、基准系、坐标系、参考坐标（英语：Frame of reference）等，在物理学中指用以测量并记录位置、定向以及其他物体属性的坐标系；或指与观测者的运动状态相关的观测参考系；又或同指两者。

各种参考系

参考系有许多种，所以在提到参考系时，常会在前面加上字词指定是哪一种参考系，如笛卡儿坐标系。人们也会指定参考系的属性：旋转参考系强调参考系的运动状态，伽利略参考系强调系与系之间的变换法，而宏观或微观参考系则强调参考系的尺度大小。^{[注 1]}

在本条目中，“观测者参考系”强调的是运动的状态，而非某种特定坐标系的选择，或是用于观测的仪器。这种用法能够研究观测者的运动对坐标系的影响，无论观测者使用的坐标系是哪一种。另一方面，当观测者的运动状态并非主要的针对点时，不同的“参考系”能够利用不同系统的对称性，来简化计算的过程。更广义的来说，许多物理学中的问题都用到广义坐标、实模态或特征矢量，这些都和时间和空间没有直接的关系。下文因此有必要分开叙述各种参考系，把观测者参考系、坐标系及观测仪器作为独立的概念来看，如下：

观测者参考系（如惯性参考系或非惯性参考系）是与运动状态有关的物理概念。
坐标系为一个数学概念，是用于描述物理问题一种语言^{[注 2]}。所以，在一个观测者参考系中的观测者可以选用各种各样的坐标系（笛卡尔坐标系、极坐标系、曲线坐标系、广义坐标系等等）来描述从该参考系中观测到的现象。坐标系的改变并不影响观测者本身的运动，也就不会影响这个观测者的“观测者参考系”^[4]。某一些坐标系比另一些更适合描述特定的物理问题，在同一个观测者参考系中，可以任选其一。
对量度或观测工具的选择独立于观测者的运动状态和其选用的坐标系。

坐标系

“坐标”一词的意义有时是非专业性的（特别在物理学中），然而它在数学中却具有准确的意义。

数学中的坐标系是一个几何学和代数学用到的概念^[5]^[6]，一般作为流形的一种特性（如物理学中的位形空间和相空间）^[7]^[8]。一个点r在n维空间中的坐标表达方式为n-元组：^[9]^[10]

\mathbf{r} =[x^1,\ x^2,\ \dots\ ,  x^n] \ .

在广义的巴拿赫空间中，这些数字能够是诸如傅里叶级数等函数展开式中的系数。在物理问题中，它们可以是时空坐标或实模态振幅。当用在机器人设计时，它们可以是相对旋转的角度、直线平移或关节的变形度等^[11]。在此我们假设这些坐标能够以笛卡尔坐标系中的一组函数表示：

x^j = x^j (x,\  y,\  z,\  \dots)\ ,

j = 1, \ \dots \ , \ n\

其中x、y、z等等为该点的n个笛卡尔坐标数。给定这些函数，定义坐标面为以下关系：

x^j (x, y, z, \dots) =

常数

j = 1, \ \dots \ , \ n\  .

这些面的相交处定义为坐标线。在任何一点上，与相交的坐标线相切的所有切线组成一组在那一点的基矢量：{e₁, e₂, …, e_n}。也就是：^[12]

\mathbf{e}_i(\mathbf{r}) =\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\mathbf{r}\left(x^1,\  \dots,\  x^i+\epsilon,\  \dots ,\  x^n \right) - \mathbf{r}\left(x^1,\  \dots,\  x^i,\  \dots ,\  x^n \right)}{\epsilon }\ ,

这能够归一化为单位长度。

坐标面、坐标线以及基矢量组成一个坐标系^[13]。如果基矢量在每一点上都两两正交，则该坐标系称为正交坐标系。

坐标系中一个重要的方面在于其度量g_ik，它在坐标系中以一组坐标表达弧长ds：^[14]

(ds)^2 = g_{ik}\ dx^i\ dx^k \ ,

并求和所有重复的索引。

根据上文可以看出，参考系其实是一个数学模型，属于公理系统的一部分。参考系和物体运动实际上并没有关系，但在加上时间作为又一个坐标后，它就能够描述运动。所以，洛伦兹变换及伽利略变换可以被视为坐标转换。

观测者参考系

观测者参考系，或一般只称为参考系，是与观测者以及其运动状态相关的物理概念。在本文中所指的，是只和运动状态有关的参考系^[15]。不过，人们对此观点并无共识。在狭义相对论中，“观测者”和“参考系”一般是有分别的。这一观点认为，参考系是观测者加上一个右手正交坐标系，该坐标系由一组正交的空间矢量和与其垂直的一个时间矢量组成^[16]。本文并不使用这种狭义的观点^[17]^[18]。在广义相对论中，广义坐标系的使用是很常见的（参见独立球体外的引力场的史瓦西解^[19]）。

观测者参考系有两种：惯性与非惯性参考系。惯性参考系中的物理定律都处于最为简单的形式。在狭义相对论中，这种参考系通过洛伦兹变换相互变换，其参数为快度。在牛顿力学中，惯性参考系定义为牛顿第一定律必须成立的参考系，也就是在这种参考系中的自由粒子要么以直线恒速运行，要么保持静止。它们之间以伽利略变换互相转换。

与之相对的是非惯性参考系，当中的物理现象必须用到假想力才能解释。其中一个例子为位于地球表面的参考系。该参考系围绕地球中心旋转，因此造成一系列的假想力，如科里奥利力、离心力和引力。（这些力，包括引力在内，都是在真正的惯性参考系——自由落体——中不存在的。）

量度仪器

参考系的其中一方面在于，加载与参考系上的量度仪器有关的（如钟或长杆等）到底具有什么样的角色。本文不讨论这一问题，而这是在量子力学中牵涉到观测者与测量之间关系的一个课题。

在物理实验中，实验室量度仪器静止位处的参考系称为实验室参考系。某些实验中的实验室参考系是惯性参考系，而另一些则不是（如在地球表面的大部分实验室都是非惯性参考系）。在粒子物理学中，一个常见的做法是把实验室参考系中的能量与动量转换到质心系中，这样可以简化计算过程。

在思想实验中用到的钟或长杆等观测者的量度仪器，在实际实验中是以非常复杂的仪器取代，从而间接地做出测量的。这些仪器用到真空的属性，其原子钟根据标准模型运作，时间也必须根据引力时间膨胀做出调整^[20]。

其实，爱因斯坦认为钟和长杆应该由更基础的物体取代，如原子和分子等^[21]。

惯性参考系

两辆车以不同的均速在路面行驶（见图）。在某一时刻，它们间隔200米。前方的那辆车以每秒22米的速度行驶，随后的那辆车以每秒30米的速度行驶。要计算第二辆车在多久后会赶上第一辆车，我们可以使用三个参考系的其中一个。

首先，我们可以从路边观测两辆车。定义路边的参考系为S：计时器在第二辆车经过路边观测者时开始，这时两车相距d = 200 m。两辆车都以均速运行，所以我们可以用以下的公式表述它们的位置： $x_1(t)$ 为第一辆车在时间t秒后的位置，而 $x_2(t)$ 为第二辆车在时间t秒后的位置。

x_1(t)= d + v_1 t = 200\ + \ 22t\ ; \quad x_2(t)=  v_2 t = 30t

当时间为t = 0 s时，第一辆车位于200米处，而第二辆车位置为零，这符合实际情况。我们要设 $x_1=x_2$ ，并求 $t$ ：

200 + 22 t = 30t \quad

8t = 200 \quad

t = 25 \quad \mathrm{s}

或者我们可以选择位于第一辆车上的参考系S' 。在这个参考系里，第一辆车是静止的，而第二辆车跟随在后，速度为v₂ − v₁ = 8 m / s。赶上前一辆车所需的时间为d /( v₂ − v₁) = 200 / 8 s，也就是25秒，同上。使用这个参考系比上一个参考系简单得多。第三种做法是，取位于第二辆车上的参考系。这和以上的例子相似，但这次第二辆车为静止，而第一辆车以每秒8米的速度向后退。

另外我们也可以使用旋转或加速的参考系，但这样会不必要地把问题复杂化了。值得注意的是，在任何参考系中作出的测量都可以换算成其他的参考系。

备注

以上的例子作了一些假设。比如牛顿使用的是世界时，因此两个相互以高速均速运动的钟的时间流逝率永远是一样的。他认为一个参考系中的时间流逝率应该和所有其他参考系中的一样。也就是说，所有参考系的时间流逝率都和一个绝对的世界时相同，并不取决于参考系的位置和速率。爱因斯坦于1905年在他的狭义相对论中延伸了这一概念，并假设所有物理定律在所有的惯性参考系中都相同（包括光在真空中的速度），在这种原理下参考系之间的变换方法称为洛伦兹变换。

另外，惯性参考系的定义并不局限于三维欧几里得空间。牛顿所用的为简单的欧几里得空间，但广义相对论则用一种更为广义的几何。就拿椭球体的几何为例，其中的自由粒子定义为沿着测地线均速移动或静止不动。两个自由粒子可以在表面上的同一点开始，以均速向不同方向运行。一段时间后，两个粒子会在椭球体的另一边会和相撞。粒子均以均速运行，符合没有外在施力的定义；没有加速度，也就符合了牛顿第一定律。因此这两个粒子位于惯性参考系当中。它们最后的相撞是椭球体的几何造成的。类似地，人们现在相信存在一种称为时空的四维几何，而这种几何能够解释为什么两个有质量的物体在没有外力的情况下会互相靠近。时空的曲率取代了牛顿力学和狭义相对论中的引力。

非惯性参考系

非惯性参考系和惯性参考系之间的分别在于，在用到非惯性参考系时，必须用到假想力。

加速参考系一般以撇号标记，所有与其相关的变量都加以撇号：x' 、y' 、a' 等。

某惯性参考系和非惯性参考系之间的距离一般记为R。取同时存在于两个参考系中的任意点，从惯性参考系原点指向该点的矢量长度为r，而从非惯性参考系原点指向该点的矢量长度为r'。以下的关系成立：

\mathbf r = \mathbf R + \mathbf r'

取一阶及二阶导数后得：

\mathbf v = \mathbf V + \mathbf v'

\mathbf a = \mathbf A + \mathbf a'

其中V和A分别为相对非惯性参考系的速率和加速度，而v和a分别为相对惯性参考系的速率和加速度。

利用这些公式，我们能够在两种参考系之间变换。比如，牛顿第二定律现在可以写作：

\mathbf F = m\mathbf a = m\mathbf A + m\mathbf a'

当从旋转参考系等加速参考系来看时，惯性似乎表现为一种力（旋转参考系中有离心力及与垂直于物体移动路径的科里奥利力）。

其中一种常见的加速参考系为同时旋转并平移的参考系（如固定在搬动并运作中的播放机里的光碟上的参考系）。如此的参考系有以下的方程：

\mathbf a = \mathbf a' + \dot{\boldsymbol\omega} \times \mathbf r' + 2\boldsymbol\omega \times \mathbf v' + \boldsymbol\omega \times (\boldsymbol\omega \times \mathbf r') + \mathbf A_0

或求相对加速参考系的物体加速度：

\mathbf a' = \mathbf a - \dot{\boldsymbol\omega} \times \mathbf r' - 2\boldsymbol\omega \times \mathbf v' - \boldsymbol\omega \times (\boldsymbol\omega \times \mathbf r') - \mathbf A_0

两边乘以质量m得

\mathbf F' = \mathbf F_\mathrm{physical} + \mathbf F'_\mathrm{Euler} + \mathbf F'_\mathrm{Coriolis} + \mathbf F'_\mathrm{centripetal} - m\mathbf A_0

其中

\mathbf F'_\mathrm{Euler} = -m\dot{\boldsymbol\omega} \times \mathbf r'

（欧拉力）

\mathbf F'_\mathrm{Coriolis} = -2m\boldsymbol\omega \times \mathbf v'

（科里奥利力）

\mathbf F'_\mathrm{centrifugal} = -m\boldsymbol\omega \times (\boldsymbol\omega \times \mathbf r')=m(\omega^2 \mathbf r'- (\boldsymbol\omega \cdot \mathbf r')\boldsymbol\omega)

（离心力）

常用的特定参考系

参见

注释

↑ 例如在电磁学里，不同时间与长度尺度的本构关系用于判断代入麦克斯韦方程组的电流与电荷的量^[1]。这些宏观与微观参考系的分别在热力学中也有出现^[2]。
↑ 在数学中，最广义的坐标系是复李群中弧xⁱ = xⁱ (t)的集合。见：Lev Semenovich Pontri͡agin. L.S. Pontryagin: Selected Works Vol. 2: Topological Groups 3rd Edition. Gordon and Breach. : 429. ISBN 2-88124-133-6. 。不那么抽象地说，n维空间中的坐标系定义为一组基矢量的集合{e₁, e₂,… e_n} ^[3]。因此，坐标系是一个数学中建立的概念，有时候但不一定和物体的实际运动有直接的关系。

参考文献

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↑ For example, Møller states: "Instead of Cartesian coordinates we can obviously just as well employ general curvilinear coordinates for the fixation of points in physical space.…we shall now introduce general "curvilinear" coordinates xⁱ in four-space…." C. Møller. The Theory of Relativity. Oxford University Press. 1952: 222 and p. 233.
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↑ See Guido Rizzi, Matteo Luca Ruggiero. Relativity in rotating frames. Springer. 2003: 33. ISBN 1-4020-1805-3. .

外部链接

[3] 例如在电磁学里，不同时间与长度尺度的本构关系用于判断代入麦克斯韦方程组的电流与电荷的量^[1]。这些宏观与微观参考系的分别在热力学中也有出现^[2]。

[5] 在数学中，最广义的坐标系是复李群中弧xⁱ = xⁱ (t)的集合。见：Lev Semenovich Pontri͡agin. L.S. Pontryagin: Selected Works Vol. 2: Topological Groups 3rd Edition. Gordon and Breach. : 429. ISBN 2-88124-133-6. 。不那么抽象地说，n维空间中的坐标系定义为一组基矢量的集合{e₁, e₂,… e_n} ^[3]。因此，坐标系是一个数学中建立的概念，有时候但不一定和物体的实际运动有直接的关系。

[1] Kurt Edmund Oughstun. Electromagnetic and Optical Pulse Propagation 1: Spectral Representations in Temporally Dispersive Media. Springer. 2006: 165. ISBN 0-387-34599-X.

[2] Paul McEvoy. Classical Theory. MicroAnalytix. 2002: 205. ISBN 1-930832-02-8.

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[Hawking-9] According to Hawking and Ellis: "A manifold is a space locally similar to Euclidean space in that it can be covered by coordinate patches. This structure allows differentiation to be defined, but does not distinguish between different coordinate systems. Thus, the only concepts defined by the manifold structure are those that are independent of the choice of a coordinate system." Stephen W. Hawking & George Francis Rayner Ellis. The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge University Press. 1973: 11. ISBN 0-521-09906-4. A mathematical definition is: A connected Hausdorff space M is called an n-dimensional manifold if each point of M is contained in an open set that is homeomorphic to an open set in Euclidean n-dimensional space.

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[Moller-19] For example, Møller states: "Instead of Cartesian coordinates we can obviously just as well employ general curvilinear coordinates for the fixation of points in physical space.…we shall now introduce general "curvilinear" coordinates xⁱ in four-space…." C. Møller. The Theory of Relativity. Oxford University Press. 1952: 222 and p. 233.

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[Rizzi-23] See Guido Rizzi, Matteo Luca Ruggiero. Relativity in rotating frames. Springer. 2003: 33. ISBN 1-4020-1805-3. .

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