自然對數
ln
(
x
)
{\displaystyle \ln(x)}
函數圖像 。 自然對數的積分定義。 自然對數 （英語：Natural logarithm ）為以數學常數e 為底數 的對數函數 ，標記作
ln
x
{\displaystyle \ln x}
log
e
x
{\displaystyle \log_e x}
反函數 為指數函數
e
x
{\displaystyle e^x}
微積分學 ，某函數之定義域為其反函數之值域，反之其值域為其反函數之定義域。因
e
x
{\displaystyle e^x}
(
0
,
∞
)
{\displaystyle (0,\infty)}
ln
x
{\displaystyle \ln x}
ln
x
{\displaystyle \ln x}
(
0
,
∞
)
{\displaystyle (0,\infty)}
ln
x
{\displaystyle \ln x}
自然對數定義為：對任何正實數
x
{\displaystyle x}
1
{\displaystyle 1}
x
{\displaystyle x}
x
y
=
1
{\displaystyle xy=1}
曲線下的面積 。如果
x
{\displaystyle x}
ln
x
=
∫
1
x
d
t
t
{\displaystyle \ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}\,}
e
{\displaystyle e}
x
{\displaystyle x}
ln
x
=
1
{\displaystyle \ln x = 1}
數學表示方法 自然對數的一般表示方法為
ln
x
{\displaystyle \ln x\!}
log
x
{\displaystyle \log x\!}
[1] 常用對數
log
x
{\displaystyle \log x\!}
log
e
x
{\displaystyle \log_{\boldsymbol{e}} x\!}
歷史 十七世紀 雙曲線扇形 是笛卡爾平面
{
(
x
,
y
)
}
{\displaystyle \{(x,y)\}}
(
a
,
1
a
)
{\displaystyle (a,\frac{1}{a})}
(
b
,
1
b
)
{\displaystyle (b,\frac{1}{b})}
雙曲線
x
y
=
1
{\displaystyle xy=1}
a
=
1
{\displaystyle a=1}
b
>
1
{\displaystyle b>1}
ln
(
b
)
{\displaystyle \ln(b)}
[2] 雙曲角 。當直角雙曲線下的兩段面積相等時，
x
{\displaystyle x}
等比數列 ，
x
2
x
1
=
x
1
x
0
=
k
{\displaystyle \frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1}{x_0}=k}
y
{\displaystyle y}
x
2
x
1
=
x
1
x
0
=
1
k
{\displaystyle \frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1}{x_0}=\frac{1}{k}}
約翰·納皮爾 在1614年[3] 約斯特·比爾吉 在6年後[4] 對數表 ，當時通過對接近1的底數的大量乘冪 運算，來找到指定範圍和精度的對數 和所對應的真數，當時還沒出現有理數冪的概念。按後世的觀點，約斯特·比爾吉的底數1.000110000 相當接近自然對數的底數
e
{\displaystyle e}
約翰·納皮爾 的底數0.999999910000000 相當接近
1
e
{\displaystyle \frac{1}{e}}
[5] 約翰·納皮爾 用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，Henry Briggs 建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法[6] 常用對數 表的編制。
形如
f
(
x
)
=
x
p
{\displaystyle f(x)=x^p}
反導數 ，除了特殊情況
p
=
−
1
{\displaystyle p=-1}
弓形面積 ，即雙曲線扇形 ；其他情況都由1635年發表的卡瓦列里弓形面積公式 給出[7] 阿基米德 完成（拋物線的弓形面積 ），雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年Grégoire de Saint-Vincent 將對數聯繫於雙曲線
x
y
=
1
{\displaystyle xy=1}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
雙曲線扇形 同
[
c
,
d
]
{\displaystyle [c,d]}
a
b
=
c
d
{\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
x
=
t
{\displaystyle x=t}
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
[8]
f
(
t
u
)
=
f
(
t
)
+
f
(
u
)
.
{\displaystyle f(tu) = f(t) + f(u).\,}
1649年，Alphonse Antonio de Sarasa 將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，伊薩克·牛頓 推廣了二項式定理 ，他將
1
1
+
x
{\displaystyle \frac{1}{1+x}}
尼古拉斯·麥卡托 在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中[9] 麥卡托級數 。
十八世紀 大約1730年，歐拉 定義互為逆函數的指數函數 和自然對數為[10] [11]
e
x
=
lim
n
→
∞
(
1
+
x
n
)
n
,
{\displaystyle e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n,}
ln
(
x
)
=
lim
n
→
∞
n
(
x
1
n
−
1
)
{\displaystyle \ln(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n\left(x^{\frac{1}{n}} - 1\right)}
1742年威廉·瓊斯 發表了現在的冪 指數 概念[12]
形式定義 歐拉 定義自然對數為序列的極限 ：
ln
(
x
)
=
lim
n
→
∞
n
(
x
1
n
−
1
)
.
{\displaystyle \ln(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n\left(x^{\frac{1}{n}} - 1\right).}
ln
(
a
)
{\displaystyle \ln (a)}
積分 ，
ln
(
a
)
=
∫
1
a
1
x
d
x
.
{\displaystyle \ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.}
這個函數為對數是因滿足對數 的基本性質:
ln
(
a
b
)
=
ln
(
a
)
+
ln
(
b
)
.
{\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b). \,\!}
這可以通過將定義了
ln
(
a
b
)
{\displaystyle \ln(ab)}
換元
x
=
t
a
{\displaystyle x=ta}
ln
(
a
b
)
=
∫
1
a
b
1
x
d
x
=
∫
1
a
1
x
d
x
+
∫
a
a
b
1
x
d
x
=
∫
1
a
1
x
d
x
+
∫
1
b
1
a
t
d
(
a
t
)
{\displaystyle
\ln (ab)
= \int_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx
= \int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx
=\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{at} \; d(at)
}
=
∫
1
a
1
x
d
x
+
∫
1
b
1
t
d
t
=
ln
(
a
)
+
ln
(
b
)
.
{\displaystyle
=\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt
= \ln (a) + \ln (b).
}
冪公式
ln
(
t
′
)
=
r
ln
(
t
)
{\displaystyle \ln (t')=r\ln (t)}
ln
(
t
r
)
=
∫
1
t
r
1
x
d
x
=
∫
1
t
1
u
r
d
(
u
r
)
=
∫
1
t
1
u
r
(
r
u
r
−
1
d
u
)
=
r
∫
1
t
1
u
d
u
=
r
ln
(
t
)
.
{\displaystyle
\ln(t^r) = \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int_1^t \frac{1}{u^r} d\left(u^{r}\right) = \int_1^t \frac{1}{u^r} \left(ru^{r - 1} \, du\right) = r \int_1^t \frac{1}{u} \, du = r \ln(t).
}
第二個等式使用了換元
u
=
x
1
r
{\displaystyle u=x^{\frac{1}{r}}}
自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示：
ln
(
x
)
=
−
lim
ϵ
→
0
∫
ϵ
∞
d
t
t
(
e
−
x
t
−
e
−
t
)
.
{\displaystyle \ln(x) = -\lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^\infty \frac{dt}{t}\left( e^{-xt} - e^{-t} \right).}
性質
ln
(
1
)
=
∫
1
1
1
t
d
t
=
0
{\displaystyle \ln(1) =\int_1^1 \frac{1}{t}\,dt=0 \,}
ln
(
−
1
)
=
i
π
{\displaystyle \operatorname{ln}(-1) = i \pi \,}
(參見複數對數 )
ln
(
x
)
<
ln
(
y
)
f
o
r
0
<
x
<
y
{\displaystyle \ln(x) < \ln(y) \quad{\rm for}\quad 0 < x < y \,}
lim
x
→
0
ln
(
1
+
x
)
x
=
1
{\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \,}
ln
(
x
y
)
=
y
ln
(
x
)
{\displaystyle \ln(x^y) = y \, \ln(x) \,}
x
−
1
x
≤
ln
(
x
)
≤
x
−
1
f
o
r
x
>
0
{\displaystyle \frac{x-1}{x} \leq \ln(x) \leq x-1 \quad{\rm for}\quad x > 0 \,}
ln
(
1
+
x
α
)
≤
α
x
f
o
r
x
≥
0
,
α
≥
1
{\displaystyle \ln{( 1+x^\alpha )} \leq \alpha x \quad{\rm for}\quad x \ge 0, \alpha \ge 1 \,}
證明
lim
h
→
0
ln
(
1
+
h
)
h
=
lim
h
→
0
ln
(
1
+
h
)
−
ln
1
h
=
d
d
x
ln
x
|
x
=
1
=
1
{\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)-\ln 1}{h} = \frac{d}{dx} \ln x \Bigg|_{x=1} = 1}
導數 自然對數的圖像和它在
x
=
1.5
{\displaystyle x=1.5}
ln
(
1
+
x
)
{\displaystyle \ln(1+x)}
−
1
<
x
≤
1
{\displaystyle -1<x\leq 1}
自然對數的導數 為
d
d
x
ln
(
x
)
=
1
x
.
{\displaystyle \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.\,}
證明一 （微積分第一基本定理）:
d
d
x
ln
(
x
)
=
d
d
x
∫
1
x
1
t
d
t
=
1
x
{\displaystyle \frac{d}{dx} \ln(x)=\frac{d}{dx} \int_1^x \frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{x}}
證明二: 按此影片
d
d
x
ln
(
x
)
=
lim
h
→
0
ln
(
x
+
h
)
−
ln
(
x
)
h
{\displaystyle \frac{d}{dx} \ln (x) =\lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}}
=
lim
h
→
0
ln
(
x
+
h
x
)
h
{\displaystyle =\lim_{h \to 0} \frac{\ln(\frac{x+h}{x})}{h}}
=
lim
h
→
0
[
1
h
ln
(
1
+
h
x
)
]
{\displaystyle =\lim_{h \to 0} \left[ \frac{1}{h} \ln\left( 1 + \frac{h}{x} \right)\right]\quad}
=
lim
h
→
0
ln
(
1
+
h
x
)
1
h
{\displaystyle = \lim_{h \to 0} \ln\left( 1 + \frac{h}{x} \right)^\frac{1}{h}}
設
u
=
h
x
⇒
u
x
=
h
{\displaystyle u=\frac{h}{x} \Rightarrow ux=h}
1
h
=
1
u
x
{\displaystyle \frac{1}{h}=\frac{1}{ux}}
d
d
x
ln
(
x
)
=
lim
u
→
0
ln
(
1
+
u
)
1
u
x
{\displaystyle \frac{d}{dx} \ln (x)=\lim_{u \to 0} \ln (1+u)^\frac {1}{ux}}
=
lim
u
→
0
ln
[
(
1
+
u
)
1
u
]
1
x
{\displaystyle =\lim_{u \to 0}\ln\left[(1+u)^\frac{1}{u} \right]^\frac{1}{x}}
=
1
x
lim
u
→
0
ln
(
1
+
u
)
1
u
{\displaystyle =\frac{1}{x} \lim_{u \to 0} \ln(1+u)^\frac {1}{u}}
設
n
=
1
u
⇒
u
=
1
n
{\displaystyle n=\frac{1}{u} \Rightarrow u=\frac{1}{n}}
d
d
x
ln
(
x
)
=
1
x
lim
n
→
∞
ln
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \lim_{n \to \infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n}
=
1
x
ln
[
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
]
{\displaystyle =\frac{1}{x} \ln \left [ \lim_{n \to \infty}\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \right ]}
=
1
x
ln
e
{\displaystyle =\frac{1}{x} \ln e}
=
1
x
{\displaystyle =\frac {1}{x}}
用自然對數定義的更一般的對數函數，
log
b
(
x
)
=
ln
(
x
)
ln
(
b
)
{\displaystyle \log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}}
逆函數 即一般指數函數 的性質，它的導數為[13] [14]
d
d
x
log
b
(
x
)
=
1
x
ln
(
b
)
.
{\displaystyle \frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}. }
根據連鎖法則 ，以
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
d
d
x
ln
[
f
(
x
)
]
=
f
′
(
x
)
f
(
x
)
.
{\displaystyle \frac{d}{dx} \ln[f(x)] = \frac{f'(x)}{f(x)}.}
右手端的商叫做
f
{\displaystyle f}
對數導數 ，通過
ln
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle \ln(f(x))}
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
對數微分 [15]
冪級數 自然對數的導數性質導致了
ln
(
1
+
x
)
{\displaystyle \ln(1+x)}
泰勒級數 ，也叫做麥卡托級數 ：
ln
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
x
n
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
⋯
{\displaystyle \ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots }
對於所有
|
x
|
≤
1
,
{\displaystyle \left|x\right| \leq 1,}
x
=
−
1.
{\displaystyle x = -1.}
把
x
−
1
{\displaystyle x-1}
x
{\displaystyle x}
ln
(
x
)
{\displaystyle \ln(x)}
歐拉變換 ，可以得到對絕對值大於1的任何
x
{\displaystyle x}
ln
x
x
−
1
=
∑
n
=
1
∞
1
n
x
n
=
1
x
+
1
2
x
2
+
1
3
x
3
+
⋯
.
{\displaystyle \ln{x \over {x-1}} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n x^n}} = {1 \over x}+ {1 \over {2x^2}} + {1 \over {3x^3}} + \cdots \,.}
這個級數類似於貝利-波爾溫-普勞夫公式 。
還要注意到
x
x
−
1
{\displaystyle x \over {x-1} }
y
{\displaystyle y}
x
x
−
1
{\displaystyle x \over {x-1} }
x
{\displaystyle x}
ln
x
=
∑
n
=
1
∞
1
n
(
x
−
1
x
)
n
=
(
x
−
1
x
)
+
1
2
(
x
−
1
x
)
2
+
1
3
(
x
−
1
x
)
3
+
⋯
{\displaystyle \ln{x} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n}} \left( {x - 1 \over x} \right)^n = \left( {x - 1 \over x} \right) + {1 \over 2} \left( {x - 1 \over x} \right)^2 + {1 \over 3} \left( {x - 1 \over x} \right)^3 + \cdots \,}
對於
Re
(
x
)
≥
1
2
.
{\displaystyle \operatorname{Re} (x) \geq \frac12 \,.}
自然數的倒數的總和
1
+
1
2
+
1
3
+
⋯
+
1
n
=
∑
k
=
1
n
1
k
,
{\displaystyle 1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},}
叫做調和級數 。它與自然對數有密切聯繫：當
n
{\displaystyle n}
∑
k
=
1
n
1
k
−
ln
(
n
)
,
{\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n),}
收斂 於歐拉-馬歇羅尼常數 。這個關係有助於分析算法比如快速排序 的性能。[16]
積分 自然對數通過分部積分法 積分:
∫
ln
(
x
)
d
x
=
x
ln
(
x
)
−
x
+
C
.
{\displaystyle \int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - x + C.}
假設:
u
=
ln
(
x
)
⇒
d
u
=
d
x
x
{\displaystyle u = \ln(x) \Rightarrow du = \frac{dx}{x}}
d
v
=
d
x
⇒
v
=
x
{\displaystyle dv = dx \Rightarrow v = x\, }
所以:
∫
ln
(
x
)
d
x
=
x
ln
(
x
)
−
∫
x
x
d
x
=
x
ln
(
x
)
−
∫
1
d
x
=
x
ln
(
x
)
−
x
+
C
{\displaystyle
\begin{align}
\int \ln (x) \,dx & = x \ln (x) - \int \frac{x}{x} \,dx \\
& = x \ln (x) - \int 1 \,dx \\
& = x \ln (x) - x + C
\end{align}
}
自然對數可以簡化形如
g
(
x
)
=
f
′
(
x
)
f
(
x
)
{\displaystyle g(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
原函數 給出為
ln
(
|
f
(
x
)
|
)
{\displaystyle \ln(\left \vert f(x) \right \vert)}
連鎖法則 和如下事實:
d
d
x
ln
|
x
|
=
1
x
.
{\displaystyle \ {d \over dx}\ln \left| x \right| = {1 \over x}.}
換句話說，
∫
1
x
d
x
=
ln
|
x
|
+
C
{\displaystyle \int { 1 \over x} dx = \ln|x| + C}
且
∫
f
′
(
x
)
f
(
x
)
d
x
=
ln
|
f
(
x
)
|
+
C
.
{\displaystyle \int { \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx} = \ln |f(x)| + C.}
例子 下面是
g
(
x
)
=
tan
x
{\displaystyle g(x)=\tan x}
∫
tan
x
d
x
=
∫
sin
x
cos
x
d
x
=
∫
−
d
d
x
cos
x
cos
x
d
x
.
{\displaystyle \begin{align}
\int \tan x \,dx &= \int {\sin x \over \cos x} \,dx \\
&= \int {-{d \over dx} \cos x \over {\cos x}} \,dx. \\
\end{align}}
設
f
(
x
)
=
cos
x
{\displaystyle f(x)=\cos x}
f
′
(
x
)
=
−
sin
x
{\displaystyle f'(x)=-\sin x}
∫
tan
x
d
x
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C
=
ln
|
sec
x
|
+
C
{\displaystyle \begin{align}\int \tan x \,dx &= -\ln{\left| \cos x \right|} + C \\
&= \ln{\left| \sec x \right|} + C \\
\end{align}}
與雙曲函數的關係 在直角雙曲線 (方程
y
=
1
x
{\displaystyle y=\frac{1}{x}}
雙曲角
u
{\displaystyle u}
雙曲線扇形 (紅色)。這個三角形的邊分別是雙曲函數 中
cosh
{\displaystyle \cosh}
sinh
{\displaystyle \sinh}
2
{\displaystyle \sqrt{2}}
射線出原點交單位雙曲線
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle \scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1}
(
cosh
a
,
sinh
a
)
{\displaystyle \scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a)}
a
{\displaystyle \scriptstyle a}
x
{\displaystyle \scriptstyle x}
在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特 介入雙曲函數 [17] 雙曲幾何 中雙曲三角形 的面積[18] 直角雙曲線
x
y
=
1
{\displaystyle xy=1}
y
=
x
{\displaystyle y=x}
指數函數 ，即要形成指定雙曲角
u
{\displaystyle u}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
(
e
u
+
e
−
u
)
2
2
{\displaystyle \left(e^u + e^{ -u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}}
(
e
u
−
e
−
u
)
2
2
{\displaystyle \left(e^u - e^{-u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}}
通過旋轉和縮小線性變換 ，得到單位雙曲線 下的情況，有：
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}}
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}}
單位雙曲線 中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線
x
y
=
1
{\displaystyle xy=1}
1
2
{\displaystyle \frac{1}{2}}
連分數 儘管自然對數沒有簡單的連分數 ，但有一些廣義連分數 如:
ln
(
1
+
x
)
=
x
1
1
−
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+
x
5
5
−
⋯
=
x
1
−
0
x
+
1
2
x
2
−
1
x
+
2
2
x
3
−
2
x
+
3
2
x
4
−
3
x
+
4
2
x
5
−
4
x
+
⋱
{\displaystyle \begin{align}
\ln (1+x) &= \frac{x^1}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\cdots \\
&= \cfrac{x}{1-0x+\cfrac{1^2x}{2-1x+\cfrac{2^2x}{3-2x+\cfrac{3^2x}{4-3x+\cfrac{4^2x}{5-4x+\ddots}}}}} \\
\end{align}
}
ln
(
1
+
x
y
)
=
x
y
+
1
x
2
+
1
x
3
y
+
2
x
2
+
2
x
5
y
+
3
x
2
+
⋱
=
2
x
2
y
+
x
−
(
1
x
)
2
3
(
2
y
+
x
)
−
(
2
x
)
2
5
(
2
y
+
x
)
−
(
3
x
)
2
7
(
2
y
+
x
)
−
⋱
{\displaystyle
\begin{align}
\ln \left( 1+\frac{x}{y} \right) &= \cfrac{x} {y+\cfrac{1x} {2+\cfrac{1x} {3y+\cfrac{2x} {2+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {2+\ddots}}}}}} \\
&= \cfrac{2x} {2y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(2y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(2y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(2y+x)-\ddots}}}} \\
\end{align}
}
這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。
例如，因為
2
=
1.25
3
×
1.024
{\displaystyle 2=1.25^3\times 1.024}
2的自然對數 可以計算為:
ln
2
=
3
ln
(
1
+
1
4
)
+
ln
(
1
+
3
125
)
=
6
9
−
1
2
27
−
2
2
45
−
3
2
63
−
⋱
+
6
253
−
3
2
759
−
6
2
1265
−
9
2
1771
−
⋱
.
{\displaystyle
\begin{align}
\ln 2 &= 3 \ln \left( 1+\frac{1}{4} \right) + \ln \left( 1+\frac{3}{125} \right) \\
&= \cfrac{6} {9-\cfrac{1^2} {27-\cfrac{2^2} {45-\cfrac{3^2} {63-\ddots}}}}
+ \cfrac{6} {253-\cfrac{3^2} {759-\cfrac{6^2} {1265-\cfrac{9^2} {1771-\ddots}}}}. \\
\end{align}
}
進而，因為
10
=
1.25
10
×
1.024
3
{\displaystyle 10=1.25^{10}\times 1.024^3}
ln
10
=
10
ln
(
1
+
1
4
)
+
3
ln
(
1
+
3
125
)
=
20
9
−
1
2
27
−
2
2
45
−
3
2
63
−
⋱
+
18
253
−
3
2
759
−
6
2
1265
−
9
2
1771
−
⋱
.
{\displaystyle
\begin{align}
\ln 10 &= 10 \ln \left( 1+\frac{1}{4} \right) + 3\ln \left( 1+\frac{3}{125} \right) \\
&= \cfrac{20} {9-\cfrac{1^2} {27-\cfrac{2^2} {45-\cfrac{3^2} {63-\ddots}}}}
+ \cfrac{18} {253-\cfrac{3^2} {759-\cfrac{6^2} {1265-\cfrac{9^2} {1771-\ddots}}}}. \\
\end{align}
}
複數對數 指數函數 可以擴展為對任何複數
x
{\displaystyle x}
e
x
{\displaystyle e^x}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
e
x
=
0
{\displaystyle e^x=0}
e
2
π
i
=
1
=
e
0
{\displaystyle e^{2\pi i}=1=e^0}
e
z
=
e
z
+
2
n
π
i
{\displaystyle e^z=e^{z+2n\pi i}}
z
{\displaystyle z}
n
{\displaystyle n}
所以對數不能定義在整個複平面 上，並且它是多值函數 ，就是說任何複數對數都可以增加
2
π
i
{\displaystyle 2\pi i}
切割平面 上是單值函數。例如，
log
i
=
1
2
π
i
{\displaystyle \log i=\frac{1}{2}\pi i}
5
2
π
i
{\displaystyle \frac{5}{2}\pi i}
−
3
2
π
i
{\displaystyle -\frac{3}{2}\pi i}
i
4
=
1
{\displaystyle i^4=1}
4
log
=
i
{\displaystyle 4\log=i}
2
π
i
{\displaystyle 2\pi i}
10
π
i
{\displaystyle 10\pi i}
−
6
π
i
{\displaystyle -6\pi i}
主值定義 對於每個非0複數
z
=
x
+
y
i
{\displaystyle z=x+yi}
log
z
{\displaystyle \log z}
(
−
π
,
π
]
{\displaystyle (-\pi, \pi]}
log
0
{\displaystyle \log 0}
w
{\displaystyle w}
e
w
=
0
{\displaystyle e^w=0}
要對
log
z
{\displaystyle \log z}
z
{\displaystyle z}
極坐標 形式，
z
=
r
e
i
θ
{\displaystyle z=re^{i\theta}}
z
{\displaystyle z}
θ
{\displaystyle \theta}
2
π
{\displaystyle 2\pi}
θ
{\displaystyle \theta}
(
−
π
,
π
]
{\displaystyle (-\pi, \pi]}
θ
{\displaystyle \theta}
arg
z
{\displaystyle \operatorname{arg} z}
atan
2
(
y
,
x
)
{\displaystyle \operatorname{atan}2(y,x)}
[19]
Log
z
:=
ln
r
+
i
θ
=
ln
|
z
|
+
i
Arg
z
=
ln
x
2
+
y
2
+
i
atan2
(
y
,
x
)
.
{\displaystyle \operatorname{Log} z := \text{ln } r + i \theta = \ln |z| + i \operatorname{Arg} z = \operatorname{ln}\sqrt{x^2+y^2} + i \operatorname{atan2}(y,x).}
例如，
Log
(
−
3
i
)
=
ln
3
−
π
i
2
{\displaystyle \operatorname{Log}(-3i)=\ln 3-\frac{\pi i}{2}}
常見科學用法 自然指數有應用於表達放射衰變（放射性 ）之類關於衰減的過程，如放射性原子數目
N
{\displaystyle N}
d
N
d
t
=
−
p
N
{\displaystyle \frac{dN}{dt}=-pN}
p
{\displaystyle p}
N
(
t
)
=
N
(
0
)
exp
(
−
p
t
)
{\displaystyle N(t)=N(0)\exp (-pt)}
註釋與引用
↑ 例如哈代 和賴特 所著的《數論入門》"Introduction to the theory of numbers" (1.7, Sixth edition, Oxford 2008)的註解 "log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest."（log x 當然是以e為基，x的「納皮爾 」對數。「常用」對數在數學上毫無重要。）
↑ 證明：從1到b 積分1/x ，增加三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)}，並減去三角形{(0, 0), (b , 0), (b , 1/b )}。
↑ Ernest William Hobson, John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press, 1914 ↑ Boyer, Carl B. , 14，Section "Jobst Bürgi" , A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons , 1991, ISBN 978-0-471-54397-8 ↑ 選取接近e的底數b，對數表涉及的bx 為單調增函數，定義域為0到1而值域為1到b；選取接近1/e的底數b，對數表涉及的bx 為單調減函數，定義域為0到∞而值域為1到0。
↑ 以
10
1
2
54
{\displaystyle 10^{\frac{1}{2^{54}}}}
↑ 博納文圖拉·卡瓦列里 在1635年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中給出定積分 ：
∫
0
a
x
n
d
x
=
1
n
+
1
a
n
+
1
n
≥
0
,
{\displaystyle \int_0^a x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1}\, a^{n+1} \qquad n \geq 0,}
不定積分 形式為：
∫
x
n
d
x
=
1
n
+
1
x
n
+
1
+
C
n
≠
−
1.
{\displaystyle \int x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1}\, x^{n+1} + C \qquad n \neq -1.}
皮埃爾·德·費馬 、Gilles de Roberval 和埃萬傑利斯塔·托里拆利 。↑ 設a=1，x軸上[a,b]兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形 面積為f(b)，[c,d]對應的扇形面積為f(d)-f(c)，d=bc，即為f(bc)-f(c)，當且僅當f(bc)=f(b)+f(c)時，兩雙曲線扇形面積相等。
↑ J. J. O'Connor; E. F. Robertson, The number e , The MacTutor History of Mathematics archive, September 2001 [2009-02-02 ] ↑
卡瓦列里弓形面積公式，對於負數值的n (x 的負數冪)，由於在x = 0處有個奇異點 ，因此定積分的下限為1，而不是0，即為：
∫
1
a
x
n
d
x
=
1
n
+
1
(
a
n
+
1
−
1
)
n
≠
−
1.
{\displaystyle \int_1^a x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1} (a^{n+1} - 1) \qquad n \neq -1.}
歐拉 的自然對數定義：
ln
(
x
)
=
lim
n
→
∞
n
(
x
1
/
n
−
1
)
=
lim
n
→
−
1
1
n
+
1
(
x
n
+
1
−
1
)
.
{\displaystyle \begin{align}
\ln(x) &=\lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1) \\
&=\lim_{n \rightarrow -1} \tfrac{1}{n+1} (x^{n+1} - 1). \\
\end{align}}
↑ Maor, Eli, e: The Story of a Number, Princeton University Press , 2009, ISBN 978-0-691-14134-3 Eves, Howard Whitley , An introduction to the history of mathematics, The Saunders series 6th, Philadelphia: Saunders, 1992, ISBN 978-0-03-029558-4 Boyer, Carl B. , A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons , 1991, ISBN 978-0-471-54397-8 ↑
(
1
+
1
n
)
x
=
(
(
1
+
1
n
)
n
)
x
n
{\displaystyle \left(1 + \frac{1}{n}\right)^x=\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right)^{\frac {x}{n}}}
↑ Lang 1997 , section IV.2 ↑ Wolfram, Stephen . " Calculation of d/dx(Log(b,x)) "Wolfram Alpha : Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英語） . ↑ Kline, Morris , Calculus: an intuitive and physical approach, Dover books on mathematics, New York: Dover Publications , 1998, ISBN 978-0-486-40453-0 ↑ Havil, Julian, Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press , 2003, ISBN 978-0-691-09983-5 ↑ Eves, Howard, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, Courier Dover Publications: 59, 2012, ISBN 9780486132204We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions. ↑ Ratcliffe, John, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 149 , Springer: 99, 2006, ISBN 9780387331973That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien , which was published posthumously in 1786. ↑ Sarason, Section IV.9.
參考 John B. Conway , Functions of one complex variable , 2nd edition, Springer, 1978.Serge Lang , Complex analysis , 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.Gino Moretti, Functions of a Complex Variable , Prentice-Hall, Inc., 1964.
Donald Sarason, Complex function theory , 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.
E. T. Whittaker and G. N. Watson , A Course in Modern Analysis , fourth edition, Cambridge University Press, 1927.
