墨卡托级数

在数学内，墨卡托级数（Mercator series）或者牛顿-墨卡托级数（Newton–Mercator series）是一个自然对数的泰勒级数：

$\ln (1+x) \;=\; x \,-\, \frac{x^2}{2} \,+\, \frac{x^3}{3} \,-\, \frac{x^4}{4} \,+\, \cdots.$

使用大写sigma表示则为

$\ln (1+x) \;=\; \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n.$

当 −1 < x ≤ 1时，此级数收敛于自然对数（加了1）。

历史

这级数被尼古拉斯·墨卡托，牛顿和Gregory Saint-Vincent分别独立发现。首先被墨卡托出版于其1668年时的著作Logarithmo-technica。

推导

这级数可以由泰勒公式导出，借由不断地计算第n次ln x在x = 1时的微分，一开始是

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}.$

或者，我们可以从有限的等比数列开始(t ≠ −1)

$1 - t + t^2 - \cdots + (-t)^{n-1} = \frac{1 - (-t)^n}{1+t}$

这可以导出

$\frac{1}{1+t} = 1 - t + t^2 - \cdots + (-t)^{n-1} + \frac{(-t)^n}{1+t}.$

然后得到

$\int_0^x \frac{dt}{1+t} = \int_0^x \left( 1 - t + t^2 - \cdots + (-t)^{n-1} + \frac{(-t)^n}{1+t} \right)\, dt$

接着逐项积分，

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + (-1)^n \int_0^x \frac{t^n}{1+t} \,dt.$

若−1 < x ≤ 1，余项会在$n \to \infty$时趋近于零。 这个表示法可以重复积分k次，得到

$-xA_k(x)+B_k(x) \ln (1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)},$

这里的

$A_k(x) = \frac{1}{k!}\sum_{m=0}^k{k \choose m}x^m\sum_{l=1}^{k-m}\frac{(-x)^{l-1}}{l}$

和

$B_k(x)=\frac{1}{k!}(1+x)^k$

都是x的多项式。

特例

令墨卡托级数里面的x = 1，则我们会得到交错调和级数

$\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = \ln 2.$

复数级数

下面的复数幂级数

$z \,-\, \frac{z^2}{2} \,+\, \frac{z^3}{3} \,-\, \frac{z^4}{4} \,+\, \cdots$

是ln(1 + z)的泰勒级数，这里ln代表复对数（complex logarithm）的主要分支（principal branch）。这个级数收敛于一个开放的单位圆盘 |z| < 1 以及圆 |z| = 1 ， z = -1除外 (根据阿贝尔判别法)，而且这里的收敛对每个半径小于一的圆盘是一致的 。

参考资料

• 埃里克·韦斯坦因. Mercator Series. MathWorld. 
• Eriksson, Larsson & Wahde. Matematisk analys med tillämpningar, part 3. Gothenburg 2002. p. 10.
• Some Contemporaries of Descartes, Fermat, Pascal and Huygens from A Short Account of the History of Mathematics (4th edition, 1908) by W. W. Rouse Ball