倒數

數學上，一個數 $x$ 的倒數（reciprocal），或稱乘法反元素（multiplicative inverse），是指一個與 $x$ 相乘的積為1的數，記為 $\tfrac{1}{x}$ 或 $x^{-1}$ 。在抽象代數中，倒數所對應的抽象化概念是乘法群的某個元素的「乘法逆」，也就是相對於群中「乘法」運算的反元素。注意這個名詞只當相應的群中的運算被稱為「乘法」後才使用。如果群中的運算被稱為「加法」，那麼同樣的概念稱為「加法逆」。乘法逆的具體定義可以參見群的反元素概念。

漢語中，名詞倒數一般用來表示數字的乘法逆，一般在各種數體如：有理數、實數、複數，以及模n的同餘類所構成的乘法群中使用。在複數域（實數域）中，每個除了0以外的複數（實數）都存在倒數：只要用某個數自身除1（也就是說用1除以某個數），即可得到它的倒數。用數學記號表示的話：

一個非零的複數（實數）

a

的倒數定義為使得

a \times b = b \times a = 1

成立的複數（實數）

b

，記作

b = \frac{1}{a} = a^{-1}

例如，

\frac{3}{8}

的倒數是

\frac {8}{3}

，因為

\frac{3}{8} \times \frac {8}{3}= 1

^[1]

每個複數（實數）只有一個倒數。一般來說，並不是對所有的代數結構中的乘法運算，每個元素都存在其乘法逆，如對矩陣乘法來說，秩小於階數的矩陣就沒有乘法逆，或者在環 $Z_{39}$ 中，元素3和18也沒有乘法逆。一個環中的一個元素有乘法逆當且僅當它是可逆元素，而它的乘法逆是唯一的當且僅當它不是一個零因子，或者說當它是一個正則元。每個非零元素都有乘法逆的環稱為除環。每個非零元素都至多有一個乘法逆的環稱為無零因子環。

負倒數

乘積為-1的兩個實數互為負倒數，實數x的負倒數記為 $-\frac{1}{x}$ 或 $-x^{-1}$ 。一個實數的倒數和其負倒數是相反數，而0沒有倒數或負倒數。

參考資料

↑ 分数除法. 义务教育教科书数学六年级上册. 北京: 人民教育出版社. 2013.

參見

[1] 分数除法. 义务教育教科书数学六年级上册. 北京: 人民教育出版社. 2013.

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