笛卡儿积

在数学中，两个集合 $X$ 和 $Y$ 的笛卡儿积（英语：Cartesian product），又称直积，在集合论中表示为 $\,X \times Y$ ，是所有可能的有序对组成的集合，其中有序对的第一个对象是 $\,X\,$ 的成员，第二个对象是 $\,Y\,$ 的成员。

X \times Y = \left\{ \left( x,y \right) \mid x \in X \land y \in Y \right\}

。

举个实例，如果集合 $\,X\,$ 是13个元素的点数集合 $\left \{ A,K,Q,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2 \right \}$ ，而集合 $\,Y\,$ 是4个元素的花色集合 $\{$ ♠, ♥, ♦, ♣ $\}$ ，则这两个集合的笛卡儿积是有52个元素的标准扑克牌的集合 $\{(A,$ ♠ $),(K,$ ♠ $), ...,(2,$ ♠ $),...,(A,$ ♣ $),...,(3,$ ♣ $),(2,$ ♣ $)\}$ 。

笛卡儿积得名于笛卡儿，因为这概念是由他建立的解析几何引申出来。

笛卡儿积的性质

易见笛卡儿积满足下列性质：

对于任意集合 $A$ ，根据定义有 $A \times \varnothing = \varnothing \times A = \varnothing$
一般来说笛卡儿积不满足交换律和结合律。
笛卡儿积对集合的并和交满足分配律，即

A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)

(B \cup C) \times A = (B \times A) \cup (C \times A)

A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)

(B \cap C) \times A = (B \times A) \cap (C \times A)

(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)

若一个集合 $A$ 包含有无限多的元素，那这个集合对自身的笛卡尔积 $A \times A$ 有和 $A$ 一样多的元素。

笛卡儿平方和n元乘积

集合 $X$ 的笛卡儿平方（或二元笛卡儿积）是笛卡儿积 $X\times X$ 。一个例子是二维平面 $R\times R$ ，（这里 $R$ 是实数集） - 它包含所有的点 $(x,y)$ ，这里的 $x$ 和 $y$ 是实数（参见笛卡儿坐标系）。

为了帮助枚举，可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列，从行和列的集合选择元素，以形成有序对作为表的单元格。

可以推广到在 $n$ 个集合 $X_1, ..., X_n$ 上的n-元笛卡儿积:

X_1\times\ldots\times X_n = \{(x_1, \ldots, x_n) \ | \ x_1\in X_1\;\land\;\ldots\;\land\;x_n\in X_n\}

。

实际上，它可以被等同为 $\left ( X_1\times ...\times X_{n-1} \right )\times X_n$ 。它是n-元组的集合。

一个例子是欧几里得三维空间 $R\times R\times R$ ，这里的 $R$ 同样是指实数集。

无穷乘积

对最常用的数学应用而言，上述定义通常已经足够。但是，也可以在任意（可能无限）的集合的搜集上定义笛卡儿积。

如果 $I$ 是任何指标集合，而

\{X_i\ | i \in I\}

是由 $I$ 索引的集合的搜集，则我们定义

\prod_{i \in I} X_i = \{ f : I \to \bigcup_{i \in I} X_i\ |\ (\forall i)(f(i) \in X_i)\}

，

就是定义在索引集合上的所有函数的集合，使得这些函数在特定索引 $i$ 上的值是 $X_i$ 的元素。

对在 $I$ 中每个 $j$ ，定义自

\pi_{j}(f) = f(j) \

的函数

\pi_{j} : \prod_{i \in I} X_i \to X_{j} \

叫做第 $j$ 投影映射。

n-元组可以被看作在 $\left \{ 1,2, ..., n \right \}$ 上的函数，它在 $i$ 上的值是这个元组的第 $i$ 个元素。所以，在 $I$ 是 $\left \{ 1,2, ..., n \right \}$ 的时候，这个定义跟有限情况的定义是一致的。在无限情况下这个定义给出的是集合族。