45度的3个同界角
在几何学 中,同界角 (英语:Coterminal angles )是指两个有向角 (有标示起始边与终边的角)有不同角度量值,但共用同一个起始边与终边,即共享相同的始边和终边的角度,但拥有不同的旋转 量,就称为同界角 [1] 。同界角拥有相同的三角函数 值,因此三角函数具有周期性 。每个角皆有无限多 个同界角 ,其量值可以为负 ,但必须是一个实数 。
性质
正转 和逆转 都可以得到相同的角 ,但他们拥有不同的旋转量,图中为45度和─ 315度
每个同界角皆差360度 ,换句话说,每360度就会出现一个同界角[2] 。每个同界角两边的向量 内积 与外积 皆有相同的值。此外,任何角都可以找到最小正同界角 和最大负同界角 。
同界角可以如下定义:
若有两个角有相同的始边 与终边,则两个角互为同界角
若两角相差360度的整数 倍则两个角互为同界角
同界角存在关系式:
θ
1
−
θ
2
=
360
∘
k
,
k
∈
Z
{\displaystyle \theta_{1}-\theta_{2} = 360^{\circ}k,\,k \in \mathbb{Z}}
亦可写为:
θ
1
−
θ
2
=
2
k
π
,
k
∈
Z
{\displaystyle \theta_{1}-\theta_{2} = 2k\pi,\,k \in \mathbb{Z}}
或:
sin
θ
1
−
sin
θ
2
=
0
{\displaystyle \sin \theta_{1}-\sin \theta_{2} = 0}
cos
θ
1
−
cos
θ
2
=
0
{\displaystyle \cos \theta_{1}-\cos \theta_{2} = 0}
与三角函数关系
从三角函数 的周期 可以发现,每间隔
2
π
{\displaystyle 2\pi}
就会找到相同高度的点,该点即为同界角的三角函数值。
从反三角函数 图形得知反余弦 必得到最小正同界角,而反正弦 则有可能得到最小正同界角或最大负同界角
从三角函数 的诱导公式 可以得知同界角的存在,下表指出,任何三角函数,只要位移为
2
π
{\displaystyle 2\pi}
,就会得到相同的函数值,因此
θ
{\displaystyle \theta}
与
θ
+
2
π
{\displaystyle \theta + 2\pi}
互为同界角。
移位
π
2
{\displaystyle \frac{\pi}{2}}
移位
π
{\displaystyle \pi}
tan
{\displaystyle \tan}
和
cot
{\displaystyle \cot}
的周期
移位
2
π
{\displaystyle 2\pi}
sin
{\displaystyle \sin}
、
cos
{\displaystyle \cos}
、
csc
{\displaystyle \csc}
和
sec
{\displaystyle \sec}
的周期
sin
(
θ
+
π
2
)
=
+
cos
θ
cos
(
θ
+
π
2
)
=
−
sin
θ
tan
(
θ
+
π
2
)
=
−
cot
θ
cot
(
θ
+
π
2
)
=
−
tan
θ
sec
(
θ
+
π
2
)
=
−
csc
θ
csc
(
θ
+
π
2
)
=
+
sec
θ
{\displaystyle
\begin{align}
\sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\
\cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\
\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\cot \theta \\
\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta \\
\sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\
\csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta
\end{align}
}
sin
(
θ
+
π
)
=
−
sin
θ
cos
(
θ
+
π
)
=
−
cos
θ
tan
(
θ
+
π
)
=
+
tan
θ
cot
(
θ
+
π
)
=
+
cot
θ
sec
(
θ
+
π
)
=
−
sec
θ
csc
(
θ
+
π
)
=
−
csc
θ
{\displaystyle
\begin{align}
\sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\
\cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\
\tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\
\cot(\theta + \pi) &= +\cot \theta \\
\sec(\theta + \pi) &= -\sec \theta \\
\csc(\theta + \pi) &= -\csc \theta
\end{align}
}
sin
(
θ
+
2
π
)
=
+
sin
θ
cos
(
θ
+
2
π
)
=
+
cos
θ
tan
(
θ
+
2
π
)
=
+
tan
θ
cot
(
θ
+
2
π
)
=
+
cot
θ
sec
(
θ
+
2
π
)
=
+
sec
θ
csc
(
θ
+
2
π
)
=
+
csc
θ
{\displaystyle
\begin{align}
\sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\
\cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\
\tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\
\cot(\theta + 2\pi) &= +\cot \theta \\
\sec(\theta + 2\pi) &= +\sec \theta \\
\csc(\theta + 2\pi) &= +\csc \theta
\end{align}
}
另外,从简单的三角方程中,也可以找到同界角,例如:
考虑方程
cos
(
θ
)
=
k
,
θ
{\displaystyle \cos(\theta)=k\,,\,\theta}
有无限多组解,其中
arccos
(
k
)
{\displaystyle \arccos(k)}
为一个解且为最小正同界角,其余解皆与
arccos
(
k
)
{\displaystyle \arccos(k)}
或是-
arccos
(
k
)
{\displaystyle \arccos(k)}
互为同界角。
但是有例外,如正切 和余切 ,由于其周期 不为360度,如正切函数的周期为180 度 (即
π
{\displaystyle \pi}
),因此相同的函数值未必互为同界角。
参见
参考文献
↑ Neal, Karla V.; R. David Gustafson, Jeffrey D. Hughes. Coterminal angles. Precalculus, 1st ed.. Cengage Learning. : 第412页. ISBN 1133712673 . kfcJAAAAQBAJ&printsec=frontcover&pg=PA412&hl=zh-TW#v=onepage&q&f=false |unified= |quote= }}
↑ Slavin, Steve; Ginny Crisonino. Circle. Wiley Self-Teaching Guides第 155 卷. John Wiley & Sons. : 第90页. ISBN 0471680192 . J-U-LknpmzIC&printsec=frontcover&pg=PA90&hl=zh-TW#v=onepage&q&f=false |unified= |quote= |date=2004-10-28 }}