超限歸納法

超限歸納法（英語：Transfinite Induction）是數學歸納法向（大）良序集合比如基數或序數的集合的擴展。

超限歸納

假設只要對於所有的 β < α，P(β) 為真，則 P(α) 也為真。那麼超限歸納告訴我們 P 對於所有序數為真。

就是說，如果 P(α) 為真只要 P(β) 對於所有 β < α 為真，則 P(α) 對於所有 α 為真。或者更實用的說：若要證明所有序數 α 都符合性質 P，你可以假定它對於所有更小的 β < α 已經是成立的。

通常證明被分為三種情況：

留意，以上三種情況(證明方法)都是相同的，只是所考慮的序數類型不同。正式來說不用分開考慮它們，但在實踐時，因為它們的證明過程通常相差很大，所以需要分別表述。在一些情況下，「零情況」會被視為一種「極限情況」，因此可以使用極限序數來證明。

超限遞歸是一種構造或定義某種對象的方法，它與超限歸納的概念密切相關。例如，可以定義以序數為下標的集合序列 A_α ，只要指定三個事項：

更形式的說，我們陳述超限遞歸定理如下。給定函數類 G₁, G₂, G₃，存在一個唯一的超限序列 F 帶有 dom(F) = $Ord$ （ $Ord$ 是所有序數的真類），使得

F(0) = G₁( $\emptyset$ )
F( $\alpha + 1$ ) = G₂(F( $\alpha$ ))，對於所有 $\alpha \in Ord$
F( $\alpha$ ) = G₃(F $\upharpoonright \alpha$ )，對於所有極限序數 $\alpha \neq 0$ 。這裡的F $\upharpoonright \alpha$ 是指F 在 $\{\beta\in Ord: \beta<\alpha\}$ 上的限制。