線性映射

在數學中，線性映射（有的書上將「線性轉換」作為其同義詞，有的則不然）是在兩個向量空間（包括由函數構成的抽象的向量空間）之間的一種保持向量加法和純量乘法的特殊映射。線性映射從抽象代數角度看是向量空間的同態，從範疇論角度看是在給定的域上的向量空間所構成的範疇中的態射。

「線性算子」也是與「線性映射」有關的概念。但是不同數學書籍上對「線性算子」的定義存在區別。在泛函分析中，「線性算子」一般被當做「線性映射」的同義詞。而有的書則將「線性算子」定義為「線性映射」的自同態子類（詳見下文）。為敘述方便，本條目在提及「線性算子」時，採用後一種定義，即將線性算子與線性映射區別開來。

定義和基本性質

設$V$和$W$是在相同域$K$上的向量空間。法則$f:V\rightarrow W$被稱為是線性映射，如果對於$V$中任何兩個向量$x$和$y$與$K$中任何純量$a$，滿足下列兩個條件：

可加性：	$f(x+y)=f(x)+f(y) \,$
齊次性：	$f(ax)=af(x) \,$

這等價於要求對於任何向量$x_1,\ldots,x_m$和純量$a_1,\ldots,a_m$，方程式

$f(a_1 x_1+\cdots+a_m x_m)=a_1 f(x_1)+\cdots+a_m f(x_m)$

成立。

偶爾地，$V$和$W$可被看作在不同域上的向量空間。那麼必須指定哪些基礎域要被用在「線性」的定義中。如果$V$和$W$被看作前面的域$K$上的空間，我們談論的就是$K$-線性映射。例如，複數的共軛是$R$-線性映射$C \rightarrow C$，而不是$C$-線性映射。

從向量空間$V$到數體K的線性映射有一個特別的名字，叫做「線性泛函」。線性泛函分析就是將空間維度增加到無窮維（包括不可數無窮維）的高等線性代數。線性泛函分析是泛函分析最成熟的分支，但泛函分析最早研究的是有關向量空間$V$上的實值函數（它們一般是非線性映射）的變分學問題。

從定義立即得出$f(0)=0$。因此線性映射有時叫做均勻線性映射(參見線性泛函)。

不同作者的術語差異

「線性轉換」和「線性算子」是與「線性映射」有關的名稱。但不同作者會按個人喜好對「線性轉換」和「線性算子」下不同的定義。這導致這2個概念與「線性映射」的關係比較亂，沒有統一的標準。

從向量空間$A$內的向量映射到同一個空間$A$內的線性映射是一類重要的線性映射，而且是一種自同態。是否給它一個特殊的術語作為名稱就導致了不同作者做法的分歧。比如Axler的書將「線性映射」和「線性轉換」當做同義詞，但「線性算子」則用於定義這種線性映射中特殊的自同態映射。龔昇的書也將「線性算子」定義為線性的自同態映射。李尚志的書則將線性自同態映射稱為「線性轉換」。而泛函分析教材中一般將「線性轉換」和「線性算子」都當做「線性映射」的別稱，彼此不加區別。

為避免詞義混亂，本條目暫將「線性算子」視作在同一空間內的「線性映射」（即認為二者存在區別），並將「線性轉換」當做「線性映射」的同義詞。認定「線性算子」僅指從向量空間$A$內的向量映射到同一個空間$A$內的線性映射。即「線性算子」只是「線性映射」的其中一種。「線性算子」是從向量空間到其自身的線性映射(自同態)，而「線性映射」則只是一般的同態（不一定是自同態）。

注意

• 本條目所定義的「線性」與「函數圖像是一條直線」是有區別的（可見下文的舉例說明）。請勿混淆。

• 同一空間內不同的線性算子（注意本條目將線性算子定義為將向量映射到原空間內的線性映射）可以複合，但一般不能隨便交換算子（哪怕是線性的算子）複合的先後順序。即線性算子的代數不滿足乘法交換律。比如「給函數乘上$x^2$」和「對函數進行微分」都是線性算子（可見下文的舉例說明），但對一個函數「先乘上$x^2$再進行微分」和「先進行微分再乘上$x^2$」所得到的結果一般是不一樣的。

• 由「可加性」不可能推導出「齊次性」，由「齊次性」也不可能推導出「可加性」，所以這2條件對於「線性」的定義缺一不可。

例子

• 恆等映射和零映射是線性的。

• 對於實數，映射$x\mapsto x^2$不是線性的。

• 如果$A$是$m\times n$實矩陣，則$A$定義了一個從$R^n$到$R^m$的線性映射，這個映射將列向量$x\in R^n$映射到列向量$Ax\in R^m$。反過來說，在有限維向量空間之間的任何線性映射都可以用這種方式表示；參見後面章節。

• 積分生成從在某個區間上所有可積分實函數的空間到$R$的線性映射。這只是把積分的基本性質（「積分的可加性」和「可從積分號內提出常數倍數」）用另一種說法表述出來。

• 微分是從所有可微分函數的空間到所有函數的空間的線性映射。

• 「給函數乘上$x^2$」是一種線性映射。設$C$是由全體連續函數所組成的函數空間，則此運算也是空間$C$中的算子。

• 後向移位（backward shift）運算是一種線性映射。即把無窮維向量$(x_1, x_2, x_3, x_4, ...)$的第一個坐標划去：$\operatorname{T}(x_1, x_2, x_3, x_4, ...) = (x_2, x_3, x_4, ...)$。

• 如果$V$和$W$為在域$F$上的有限維向量空間，則從線性映射$f:V\rightarrow W$到在後面所描述的$\dim_F(W)\times\dim_F(V)$矩陣的函數也是線性映射。

• 一次函數$y=f(x)=x+b$僅在$b=0$時才是一種線性轉換。容易驗證一次函數僅在$b=0$時，線性轉換的基本性質$f(0)=0$才能成立。（儘管$b\neq 0$時其圖像也是一條直線，但這裡所說的線性不是指函數圖像為直線。）同理，平移轉換一般也不是線性轉換（平移距離為零時才是線性轉換）。

矩陣

如果$V$和$W$是有限維的，並且在這些空間中有選擇好的基，則從$V$到$W$的所有線性映射可以被表示為矩陣。反過來說，矩陣生成線性映射的例子：如果$A$是實數的$m\times n$矩陣，則規定$f(x)=Ax$描述一個線性映射$R^n\rightarrow R^m$(參見歐幾里得空間)。

設$\{v_1, \cdots, v_n\}$是$V$的一個基。則在$V$中所有向量$v$是唯一的由在

$c_1 v_1+\cdots+c_n v_n$

的係數$c_1, \cdots, c_n$確定的。如果$f:V\rightarrow W$是線性映射，

$f(c_1 v_1+\cdots+c_n v_n)=c_1 f(v_1)+\cdots+c_n f(v_n),$

這蘊涵了這個函數$f$是完全由

$f(v_1),\cdots,f(v_n)$

的值確定的。

現在設$\{w_1, \dots, w_m\}$是$W$的基。則可以表示每個$f(v_j)$的值為

$f(v_j)=a_{1j} w_1 + \cdots + a_{mj} w_m$。因此函數$f$是完全由$a_{i,j}$的值確定的。

如果把這些值放置到$m\times n$矩陣$M$中，則可以方便的使用它來計算$f$對在$V$中任何向量的值。如果我放置$c_1, \cdots, c_n$的值到$n\times 1$矩陣$C$，我們有$MC=f(v)$。

一個單一的線性映射可以由很多矩陣表示。這是因為矩陣的元素的值依賴於選擇的基。

用矩陣表示線性映射的原因和好處

1. 把線性映射寫成具體而簡明的2維數陣形式後，就成了一種矩陣。進而由線性映射的加法規則和複合規則來分別定義矩陣的加法規則和乘法規則是很自然的想法。當空間的基變化（坐標系轉換）時，線性映射的矩陣也會有規律地變化。在特定的基上研究線性映射，就轉化為對矩陣的研究。利用矩陣的乘法，可以把一些線性系統的方程式表達得更緊湊（比如把線性方程組用矩陣表達和研究），也使幾何意義更明顯。矩陣可以分塊計算，可以通過適當的轉換以「解耦」（把複雜的轉換分解為一些簡單轉換的組合）。要求出一個線性轉換的秩，先寫出其矩陣形式幾乎是不可避免的一個步驟。
2. 遇到$y=x+3$這樣的加上了1個常數的非線性映射可以通過增加1個維度的方法，把轉換映射寫成2×2維的方形矩陣形式，從而在形式上把這一類特殊的非線性映射轉化為線性映射。這個辦法也適用於處理在高維線性轉換上多加了一個常向量的情形。這在計算機圖形學和剛體理論（及其相關機械製造和機器人學）中都有大量應用。
3. 對角化的矩陣具有諸多優點。線性映射在寫成矩陣後可以進行對角化（不能對角化的矩陣可以化簡成接近對角矩陣的准對角矩陣），從而可以獲得對角化矩陣擁有的獨特優勢（極大地簡化乘法運算，易於分塊，容易看出與基的選取無關的不變量）。比如，對於作用於同一個空間的可對角化的方形矩陣$A$，要求出$A$自乘$n$次後的結果$A^n$，一個一個慢慢地乘是很麻煩的事情。而知道對角化技巧的人會發現，在將這矩陣對角化後，其乘法運算會變得格外簡單。實際應用中有很多有意思的問題或解題方法都會涉及到矩陣自乘n次的計算，如1階非齊次線性遞推數列通項公式的線性代數求解法和馬可夫鏈的極限狀態（極限分布）的求解。線性代數及矩陣論的一個主要問題就是尋找可使矩陣對角化的條件或者可使矩陣化簡到含很多個0的條件，以便簡化計算（這是主要原因之一）。

線性映射的矩陣的例子

二維空間$R^2$的線性轉換的一些特殊情況有：

• 逆時針旋轉90度：

  $A=\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}$

• 逆時針旋轉$\theta$度：

  $A=\begin{bmatrix}\cos(\theta) & -\sin(\theta)\\ \sin(\theta) & \cos(\theta)\end{bmatrix}$

• 針對x軸反射：

  $A=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}$

• 在所有方向上放大2倍：

  $A=\begin{bmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{bmatrix}$

• 水平錯切：

  $A=\begin{bmatrix}1 & m\\ 0 & 1\end{bmatrix}$

• 擠壓：

  $A=\begin{bmatrix}k & 0\\ 0 & 1/k\end{bmatrix}$

• 向y軸投影：

  $A=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$

從給定線性映射構造新的線性映射

兩個線性映射的複合映射是線性的：如果$f:V\rightarrow W$和$g:W\rightarrow Z$是線性的，則$g\circ f:V\rightarrow Z$也是線性的。

若線性映射可逆，則該線性映射的逆也是線性映射。

如果$f_1:V\rightarrow W$和$f_2:V\rightarrow W$是線性的，則它們的和$f_1+f_2$也是線性的(這是由$\left ( f_1+f_2 \right )\left ( x \right )=f_1\left ( x \right )+f_2\left ( x \right )$定義的)。

如果$f:V\rightarrow W$是線性的，而a是基礎域K的一個元素，則定義自 (af)(x) = a (f(x))的映射af也是線性的。

所以從$V$到$W$的線性映射的集合$L\left ( V,W \right )$自身形成在$K$上的向量空間，有時指示為$\mathrm{Hom}\left ( V,W \right )$。進一步的說，在$V=W$的情況中，這個向量空間(指示為$\mathrm{End}(V)$)是在映射複合下的結合代數，因為兩個線性映射的複合再次是線性映射，所以映射的複合總是結合律的。

給定有限維的情況，如果基已經選擇好了，則線性映射的複合對應於矩陣乘法，線性映射的加法對應於矩陣加法，而線性映射與純量的乘法對應於矩陣與純量的乘法。

自同態線性映射

自同態的線性映射在泛函分析和量子力學中都有很重要的地位。按前文約定，我們用「線性算子」來簡稱它。（注意泛函分析中所說的「線性算子」不一定是自同態(endomorphism)映射，但我們為了照顧不同書籍的差異以及敘述的方便，暫用「線性算子」來稱呼這種自同態。）

自同態和自同構

線性算子$f:V\rightarrow V$是$V$的自同態；所有這種自同態的集合$\mathrm{End}(V)$與如上定義的加法、複合和純量乘法一起形成一個結合代數，帶有在域$K$上的單位元素(特別是一個環)。這個代數的乘法單位元素是恆等映射$\mathrm{id}:V\rightarrow V$。

若$V$的自同態也剛好是同構則稱之為自同構。兩個自同構的複合再次是自同構，所以$V$的所有的自同構的集合形成一個群，$V$的自同構群可表為$\mathrm{Aut}(V)$或$\mathrm{GL}(V)$。因為自同構正好是那些在複合運算下擁有反元素的自同態，所以$\mathrm{Aut}(V)$也就是在環$\mathrm{End}(V)$中的可逆元素群。

如果$V$之維度$n$有限$\mathrm{End}(V)$同構於帶有在$K$中元素的所有$n\times n$矩陣構成的結合代數，且$V$的自同態群同構於帶有在$K$中元素的所有$n\times n$可逆矩陣構成的一般線性群$\mathrm{GL}(n,K)$。

核、像和秩-零化度定理

如果$f:V\rightarrow W$是線性的，我們定義$f$的核和像（或稱值域）為

$\operatorname{\ker}(f)=\{\,x\in V:f(x)=0\,\}$

$\operatorname{Im}(f)=\{\,f(x):x\in V\,\}$

$\operatorname{\ker}(f)$是$V$的子空間，而$\operatorname{Im}(f)$是$W$的子空間。下面的叫做秩-零化度定理的維度公式經常是有用的：

$\dim(\ker( f )) + \dim(\operatorname{Im}( f )) = \dim( V ) \,$

$\dim (\mathrm{Im}(f))$的數也叫做「$f$的秩」(rank)並寫為$\mathrm{rk}(f)$，有時寫為$\rho(f)$；$\dim(\ker(f))$的數也叫做「$f$的零化度」(nullity)並寫為$v(f)$。如果$V$和$W$是有限維的，基已經選擇好並且$f$被表示為矩陣$A$，則$f$的秩和零化度分別等於矩陣$A$的秩和零化度。

推廣

多重線性映射是線性映射最重要的推廣，它也是格拉斯曼代數和張量分析的數學基礎。其特例為雙線性映射。

參見

• 線性方程式
• 反線性映射
• 轉換矩陣
• 連續線性算子
• 人工神經網路
• 計算機圖形學
• 線性系統

腳註與參考資料

腳註所引資料

• Michael Artin. Algebra [代數] 2. Pearson. 2010. ISBN 978-0132413770. 
• Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right [線性代數應該這樣學]. 圖靈數學•統計學叢書. 杜現昆 (漢譯者); 馬晶 (漢譯者). 人民郵電出版社. 2009. ISBN 9787115206145 （簡體中文（中國大陸））. 
• Peter D. Lax. Functional Analysis [泛函分析]. 圖靈數學·統計學叢書. 侯成軍 (翻譯); 王利廣 (翻譯). 人民郵電出版社. 2010. ISBN 978-7-115-23174-1. 
• Richard Feynman. The Feynman Lectures on Physics [費曼物理學講義] 1. Addison-Wesley. 1999. ISBN 978-0201021165. 

其它參考資料

• Halmos, Paul R., Finite-Dimensional Vector Spaces, Springer-Verlag, (1993). ISBN 0-387-90093-4.