余因子矩阵

在线性代数中，余因子是一种关于方阵之逆及其行列式的建构，余因子矩阵的项是带适当符号的子行列式。

定义

对一个 $n \times n$ 矩阵 $A$，在 $(i,j)$ 的子行列式（余子式） $M_{ij}$ 定义为删掉 $A$ 的第 i 横列与第 j 纵行后得到的行列式。令 $C_{ij} := (-1)^{i+j} M_{ij}$，称为 $A$ 在 $(i,j)$ 的余因子（代数余子式）。矩阵 $\mathrm{cof}(A) := (C_{ij})_{i,j}$ 称作 $A$ 的余因子矩阵（余子矩阵）。余因子矩阵的转置称为伴随矩阵，记为 $\mathrm{adj}(A)$。

范例

考虑三阶方阵

$B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \\ \end{bmatrix}$

今将计算余因子 $C_{23}$。子行列式 $M_{23}$ 是下述矩阵（在 $B$ 中去掉第 2 横行与第 3 纵列）之行列式：

$M_{23} = \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & \Box \\ \Box & \Box & \Box \\ b_{31} & b_{32} & \Box \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{31} & b_{32} \\ \end{vmatrix} = b_{11}b_{32} - b_{31}b_{12}$

根据定义得到

$\ C_{23} = (-1)^{2+3}(M_{23})$

$\ C_{23} = (-1)^{5}(b_{11}b_{32} - b_{31}b_{12})$

$\ C_{23} = b_{31}b_{12} - b_{11}b_{32}.$

余因子分解

对一 $n\times n$ 矩阵：

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$

其行列式 $\det A$ 可以用余因子表示：

$\ \det(A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + a_{3j}C_{3j} + ... + a_{nj}C_{nj}$

（对第 j 纵行的余因子分解）

$\ \det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + ... + a_{in}C_{in}$

（对第 i 横列的余因子分解）

古典伴随矩阵

“古典伴随矩阵”(classical adjoint matrix) 是余因子矩阵的“转置矩阵”，它与逆矩阵的计算有极大的关系。

$A^{-1} = \frac{\mathrm{adj}(A)}{\det(A)}$

将余因子矩阵

$\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}$

转置之后，会得到“古典伴随矩阵”：

$\mathrm{adj}(A) = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\ C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}$

克莱姆法则

克莱姆法则可以用余因子写成下述简炼的形式：

$\mathrm{cof}(A)^t A = A\mathrm{cof}(A)^t = \det(A) I_n$

当 $\det A \neq 0$ 时，$A$ 的逆矩阵由下式给出：

$A^{-1} = \dfrac{\mathrm{cof}(A)^t}{\det A}$

此即线性方程组理论中的克莱姆法则。

文献

• Anton, Howard and Chris, Rorres, Elementary Linear Algebra, 9th edition (2005), John Wiley and Sons. ISBN 0-471-66959-8

外部链接

• MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• PlanetMath