同构

5次单位根的群和五边形的对称群是同构的。

只要一个线性变换 T:V → W 是可逆的，那么这个线性变换就称之为同构（英语：isomorphism)。

在抽象代数中，同构指的是一个保持结构的双射。在更一般的范畴论语言中，同构指的是一个态射，且存在另一个态射，使得两者的复合是一个恒等态射。

正式的表述是：同构是在数学对象之间定义的一类映射，它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。若两个数学结构之间存在同构映射，那么这两个结构叫做是同构的。一般来说，如果忽略掉同构的对象的属性或操作的具体定义，单从结构上讲，同构的对象是完全等价的，也就是说，如果我们定义一个关系∼ ，使得只要V和W同构，那么 V ∼ W ,可知 ∼ 是一个等价关系。

举例

对数和指数函数

对数 $\log : R^+ \to R$

$\log(xy) = \log(x) + \log(y)$

指数函数

$\exp(x+y) = \exp(x)\exp(y)$

复数及其共轭函数

$\sigma : C \to C$

$\sigma(z) : x - iy$

模算数

$\Z_6 \cong \Z_2 \times \Z_3$

因为中国剩余定理，若m, n是互质的，则

$\Z_{mn} \cong \Z_m \times \Z_n$

引入同构的目的

在数学中研究同构的主要目的是为了把数学理论应用于不同的领域。如果两个结构是同构的，那么其上的对象会有相似的属性和操作，对某个结构成立的命题在另一个结构上也就成立。因此，如果在某个数学领域发现了一个对象结构同构于某个结构，且对于该结构已经证明了很多定理，那么这些定理马上就可以应用到该领域。如果某些数学方法可以用于该结构，那么这些方法也可以用于新领域的结构。这就使得理解和处理该对象结构变得容易，并往往可以让数学家对该领域有更深刻的理解。

参考资料

延伸阅读

Mazur, Barry, When is one thing equal to some other thing? (PDF), 12 June 2007 [2019-04-01]

外部链接

Hazewinkel, Michiel (编), Isomorphism, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
PlanetMath上Isomorphism的资料。
埃里克·韦斯坦因. Isomorphism. MathWorld.

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