真因數和

在數論中，整數的真因數和又稱真因子和是指該整數的所有真因數之和，即除了自己本身外的所有正因數之和，通常以$s(n)$來表示：

$s(n)=\sum_{d|n,\ d\ne n}d.$

真因數和可以用來描述質數、完全數、虧數、過剩數和不可及數，也可以用於定義整數的真因數和數列。

真因數和函數$s(n)$與1次除數函數$\sigma_1(n)$的關係僅差$n$：

$s(n)=\sigma_1(n)-n$

例子

以12為例，12的真因數（即除了自己本身外的所有正因數）有$、 $、 $、 4和6，則其真因數和為解析失败 (转换错误。服务器（“cli”）报告：“[INVALID]”): {\displaystyle <strong class="error"><span class="scribunto-error" id="mw-scribunto-error-0">Lua错误 在Module:Complex_Number/Calculate的第953行：attempt to concatenate field &#039;name&#039; (a nil value)</span></strong> = <strong class="error"><span class="scribunto-error" id="mw-scribunto-error-1">Lua错误 在Module:Complex_Number/Calculate的第953行：attempt to concatenate field &#039;name&#039; (a nil value)</span></strong> }

前幾個整數的真因數和$s(n)$，n = 1, 2, 3, …… 為：

$、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 21 …… （OEIS中的數列A001065）

數字類別的性質

真因數和函數可以用來區分幾個特別的數字類別：

• 1是唯一一個真因數和為0的正整數。如果一個正整數真因數和為1則代表該數是一個質數
• 完全數的真因數和等於本身、虧數的真因數和小於本身、過剩數的真因數和大於本身。准完全數（如果存在的話）真因數和為n+1。殆完全數（目前已知僅有2的冪）真因數和為n-1。
• 不可及數是指不是任何數之真因數和的數。相關研究至少可以追溯到大約公元1000年伊本·塔希爾·巴格達迪的研究，其發現2和5都是不可及數，艾狄胥·帕爾證明了其有無限多個。目前尚未確定5是否為唯一的奇數不可及數，但可以從哥德巴赫猜想的一種形式與半質數pq的真因數和為p+q+1的觀察得出。

數學家保羅·波拉克（Paul Pollack）和卡爾·帕梅朗斯指出，艾狄胥·帕爾「最喜歡的研究項目」是真因數和。

疊代

主條目：真因子和數列

疊代真因數和函數可以產生非負整數的真因數和數列n, s(n), s(s(n)), ...（在這個數列中，我們定義s(0) = 0）。目前尚不清楚這些數列是否總是以質數、完全數或週期性的相親數鏈為結尾。

參見

• 除數函數：一數之正因數的x次方和
• 紀堯姆·德奧貝里夫：中世紀的命理學家，對真因數和感興趣

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Restricted Divisor Function. MathWorld.