內積

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在數學中，點積（德語：Skalarprodukt；英語：Dot Product）又稱數量積或純量積（德語：Skalarprodukt；英語：Scalar Product），是一種接受兩個等長的數字序列（通常是坐標向量）、返回單個數字的代數運算。在歐幾里得幾何中，兩個笛卡兒坐標向量的點積常稱為內積（德語：inneres Produkt；英語：Inner Product），見內積空間。

從代數角度看，先對兩個數字序列中的每組對應元素求積，再對所有積求和，結果即為點積。從幾何角度看，點積則是兩個向量的長度與它們夾角餘弦的積。這兩種定義在笛卡兒坐標系中等價。

點積的名稱源自表示點乘運算的點號（$a\cdot b$），讀作$a\ dot\ b$，純量積的叫法則是在強調其運算結果為純量而非向量。向量的另一種乘法是叉乘（$a \times b$），其結果為向量，稱為叉積或向量積。

點積是內積（內積是點積的抽象，內積是一種雙線性函數，點積是歐幾里得空間（實內積空間）的度量）的一種特殊形式。

定義

點積有兩種定義方式：代數方式和幾何方式。通過在歐氏空間中引入笛卡兒坐標系，向量之間的點積既可以由向量坐標的代數運算得出，也可以通過引入兩個向量的長度和角度等幾何概念來求解。

代數定義

兩個向量$\vec{a}=[a_1, a_2, \cdots, a_n]$和$\vec{b}=[b_1, b_2, \cdots, b_n]$的點積定義為：

$\vec{a}\cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$

這裡的Σ是求和符號，而n是向量空間的維數。

例如，兩個三維向量$\left [ 1,3,-5 \right ]$和$\left [ 4,-2,-1 \right ]$的點積是

$\begin{align} \ [1, 3, -5] \cdot [4, -2, -1] &= (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(-1) \\ &= 4 - 6 + 5 \\ &= 3 \end{align}$

點積還可以寫為：

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a}\vec{b}^T$。

這裡，$\vec{b}^T$是行向量$\vec{b}$的轉置。

使用上面的例子，一個1×3矩陣（行向量）乘以一個3×1矩陣（列向量）的行列式就是結果(通過矩陣乘法得到1×1矩陣):

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix} = 3$。

幾何定義

在歐幾里得空間中，點積可以直觀地定義為

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \, |\vec{b}| \cos \theta \;$

這裡 |$\vec{x}$| 表示$\vec{x}$的模（長度），$\theta$表示兩個向量之間的角度。

注意：點積的形式定義和這個定義不同；在形式定義中，$\vec{a}$和$\vec{b}$的夾角是通過上述等式定義的。

這樣，兩個互相垂直的向量的點積總是零。若$\vec{a}$和$\vec{b}$都是單位向量（長度為1），它們的點積就是它們的夾角的餘弦。那麼，給定兩個向量，它們之間的夾角可以通過下列公式得到：

$\cos{\theta} = \frac{\mathbf{a \cdot b}}{|\vec{a}| \, |\vec{b}|}$

這個運算可以簡單地理解為：在點積運算中，第一個向量投影到第二個向量上（這裡，向量的順序是不重要的，點積運算是可交換的），然後通過除以它們的純量長度來「標準化」。這樣，這個分數一定是小於等於1的，可以簡單地轉化成一個角度值。

純量投影

A·B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ)是A到B的投影。

歐氏空間中向量$\mathbf A$在向量$\mathbf B$上的純量投影是指

$A_B=|\mathbf A|\cos\theta$

這裡$\theta$是$\mathbf A$和$\mathbf B$的夾角。從點積的幾何定義$\mathbf A\cdot\mathbf B=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|\cos\theta$不難得出，兩個向量的點積：$\mathbf A\cdot\mathbf B$可以理解為向量$\mathbf A$在向量$\mathbf B$上的投影再乘以$\mathbf B$的長度。

$\mathbf A\cdot\mathbf B = A_B|\mathbf{B}|=B_A|\mathbf{A}|$

兩種定義的等價性

點積的兩種定義中，只需給定一種定義，另外一種定義就可以推出。

由幾何定義推出代數定義

設$e_1,...,e_n$是$\mathbb{R}^n$空間的一組標準正交基，可以得出：

$\begin{align} \mathbf A &= [a_1,\dots,a_n] = \sum_i a_i\mathbf e_i\\ \mathbf B &= [b_1,\dots,b_n] = \sum_i b_i\mathbf e_i. \end{align}$

上文中已經得知兩個向量點積的幾何定義實際上就是一個向量在另外一個向量上的投影，故$\mathbf A$在任一標準基$e_n$的點積$\mathbf A\cdot\mathbf e_i$就是$\mathbf A$在此標準基向量上的投影，而根據向量自身的定義，這個投影即為$a_i$。因此：

$\mathbf A\cdot\mathbf B = \mathbf A\cdot\sum_i b_i\mathbf e_i = \sum_i b_i(\mathbf A\cdot\mathbf e_i) = \sum_i b_ia_i$

由代數定義推出幾何定義

應用餘弦定理。 注意：這個證明採用三維向量，但可以推廣到$n$維的情形。

考慮向量

$\vec{v} = v_1 \vec{i} + v_2 \vec{j} + v_3 \vec{k} \;$.

重復使用畢氏定理得到

$|\vec{v}|^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 \;$.

而由代數定義

$\vec{v} \cdot \vec{v} = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 \;$,

所以，根據向量點積的代數定義，向量$\vec{v}$和自身的點積就是其長度的平方。

引理1

$\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2 \;$

現在，考慮兩個從原點出發的向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，夾角$\theta$。第三個向量$\vec{c}$定義為

$\vec{c} \equiv \vec{a} - \vec{b} \;$,

構造以$\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$為邊的三角形，採用餘弦定理，有

$|\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \;$.

根據引理1，用點積代替向量長度的平方，有

$\vec{c} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} - 2 |\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta \;$. （1）

同時，根據定義$\vec{c}$ ≡ $\vec{a}$ - $\vec{b}$，有

$\vec{c} \cdot \vec{c} = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) \;$,

根據分配律，得

$\vec{c} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} -2(\vec{a} \cdot \vec{b}) \;$. （2）

連接等式（1）和（2）有

$\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} -2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} - 2 |\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta \;$.

簡化等式即得

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta \;$,

以上即為向量點積的幾何定義。

需要注意的是，點積的幾何解釋通常只適用於$\mathbb{R}^n$ ($n \le 3$)。在高維空間，其他的域或模中，點積只有一個定義，那就是

$\left \langle \vec{a}, \vec{b} \right \rangle = \sum_{i=1}^n a_ib_i$

點積可以用來計算合力和功。若$\vec{b}$為單向量，則點積即為$\vec{a}$在方向$\vec{b}$的投影，即給出了力在這個方向上的分解。功即是力和位移的點積。

性質

點積具有以下性質。

• 滿足交換律：

  $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$，

  從定義即可證明（$\theta$ 為$a$與$b$的夾角）：

  $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left\| \vec{a} \right\| \left\| \vec{b} \right\| \cos \theta = \left\| \vec{b} \right\| \left\| \vec{a} \right\| \cos \theta = \vec{b} \cdot \vec{a}$

• 對向量加法滿足分配律：

  $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$

• 點積是雙線性算子：

  $\vec{a} \cdot (r\vec{b} + \vec{c}) = r(\vec{a} \cdot \vec{b}) +(\vec{a} \cdot \vec{c})$

• 在乘以純量時滿足：

  $(c_1\vec{a}) \cdot (c_2\vec{b}) = (c_1c_2) (\vec{a} \cdot \vec{b})$

• 不滿足結合律。因為純量（$\vec{a} \cdot \vec{b}$）與向量（$\vec{c}$）的點積沒有定義，所以結合律相關的表達式 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c}$ 和 $\vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ 都沒有良好的定義

• 兩個非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$是正交的，若且唯若$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

如果$\vec{b}$是單位向量，則點積給出$\vec{a}$在方向$\vec{b}$上投影的大小，如果方向相反則帶有負號。分解向量對求向量的和經常是有用的，比如在力學中計算合力。

不像普通數的乘法服從消去律，如果$ab=ac$，則$b$總是等於$c$，除非$a$等於零。而對於點積：

如果$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}$並且$\vec{a}\neq 0$:

則根據分配律可以得出：$\vec{a}\cdot\left ( \vec{b}-\vec{c} \right )=0$；進而：

如果$\vec{a}$垂直於$\left ( \vec{b}-\vec{c} \right )$，則$\left ( \vec{b}-\vec{c} \right )$可能$\neq 0$，因而$\vec{b}$可能$\neq\vec{c}$；否則$\vec{b}=\vec{c}$。

推廣

矩陣

矩陣具有弗羅比尼烏斯內積，可以類比於向量的內積。它被定義為兩個相同大小的矩陣A和B的對應元素的內積之和。

複矩陣情況下：

$\mathbf{A} : \mathbf{B} = \sum_i \sum_j A_{ij} \overline{B_{ij}} = \mathrm{tr} ( \mathbf{B}^\mathrm{H} \mathbf{A} ) = \mathrm{tr} ( \mathbf{A} \mathbf{B}^\mathrm{H} ) .$

實矩陣情況下：

$\mathbf{A} : \mathbf{B} = \sum_i \sum_j A_{ij} B_{ij} = \mathrm{tr} ( \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A} ) = \mathrm{tr} ( \mathbf{A} \mathbf{B}^\mathrm{T} ) = \mathrm{tr} ( \mathbf{A}^\mathrm{T} \mathbf{B} ) = \mathrm{tr} ( \mathbf{B} \mathbf{A}^\mathrm{T} ) .$

應用

物理學中力學的力做功的問題，經常用到點積計算。

計算機圖形學常用來進行方向性判斷，如兩向量點積大於0，則它們的方向朝向相近；如果小於0，則方向相反。

向量內積是人工智慧領域中的神經網絡技術的數學基礎之一。

此方法被用於動畫渲染（Animation-Rendering）。

廣義定義

在一個向量空間$V$中，定義在$V\times V$上的正定對稱雙線性形式函數即是$V$的內積，而添加有一個內積的向量空間即是內積空間。

參見

• 向量積