朗道分布

Landau distribution with mode at 2

在概率論中,朗道分布（Landau distribution）是因物理學家朗道而得名的一種概率分布。由於它所具有的長尾現象，這種分布的各階矩（如數學期望與方差）都是未定義的。這種分布是穩定分布的一個特例。

定義

標準朗道分布的概率密度函數由以下復積分式表示，

$p(x) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\! e^{s \log s + x s}\, ds ,$

其中c為任意正實數，log以e為底，即取自然對數。上式結果不隨c的改變而改變。為方便數值計算，可採用以下等價形式的積分式，

$p(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty\! e^{-t \log t - x t} \sin(\pi t)\, dt ,$

通過將標準朗道分布擴展到一個位置-尺度分布族，就可以獲得完整的朗道分布族。這種分布可以近似表示如下，

$p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{-\frac{1}{2}(x + e^{-x})\right\} ,$

這種分布是穩定分布當參數α = 1且β = 1時的特例。

其特徵函數可表示如下，

$\varphi(t;\mu,c)=\exp\!\Big[\; it\mu - |c\,t|(1+\tfrac{2i}{\pi}\log(|t|))\Big] ,$

其中μ和c是實數。它產生了一個由μ控制移動、由c控制縮放的朗道分布。

相關性質

• 若$X \sim \textrm{Landau}(\mu,c)\,$ 則 $X + m \sim \textrm{Landau}(\mu + m ,c) \,$
• 朗道分布是一種穩定分布