朗道分布

Landau distribution with mode at 2

在概率论中,朗道分布（Landau distribution）是因物理学家朗道而得名的一种概率分布。由于它所具有的长尾现象，这种分布的各阶矩（如数学期望与方差）都是未定义的。这种分布是稳定分布的一个特例。

定义

标准朗道分布的概率密度函数由以下复积分式表示，

$p(x) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\! e^{s \log s + x s}\, ds ,$

其中c为任意正实数，log以e为底，即取自然对数。上式结果不随c的改变而改变。为方便数值计算，可采用以下等价形式的积分式，

$p(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty\! e^{-t \log t - x t} \sin(\pi t)\, dt ,$

通过将标准朗道分布扩展到一个位置-尺度分布族，就可以获得完整的朗道分布族。这种分布可以近似表示如下，

$p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{-\frac{1}{2}(x + e^{-x})\right\} ,$

这种分布是稳定分布当参数α = 1且β = 1时的特例。

其特征函数可表示如下，

$\varphi(t;\mu,c)=\exp\!\Big[\; it\mu - |c\,t|(1+\tfrac{2i}{\pi}\log(|t|))\Big] ,$

其中μ和c是实数。它产生了一个由μ控制移动、由c控制缩放的朗道分布。

相关性质

• 若$X \sim \textrm{Landau}(\mu,c)\,$ 则 $X + m \sim \textrm{Landau}(\mu + m ,c) \,$
• 朗道分布是一种稳定分布