负二项分布

负二项分布

概率质量函数 红线是平均值 绿线是标准差
参数	$r > 0\!$ (实) $0<p<1\!$（实）
值域	$k \in \{0,1,2,\ldots\}\!$
概率质量函数	$\frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,(1-p)^k \!$
累积分布函数	$I_p(r,k+1)$
期望值	$r\,\frac{1-p}{p}\!$
众数	$\lfloor(r-1)\,(1-p)/p\rfloor\text{ if }r>1$ $0\text{ if }r\leq 1$
方差	$r\,\frac{1-p}{p^2}\!$
偏度	$\frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\!$
峰度	$\frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}\!$
矩生成函数	$\left(\frac{p}{1-(1-p) e^t}\right)^r \!$
特征函数	$\left(\frac{p}{1-(1-p) e^{i\,t}}\right)^r \!$

负二项分布（Negative binomial distribution）是统计学上一种描述在一系列独立同分布的伯努利试验中，成功次数到达指定次数（记为r）时失败次数的离散概率分布。比如，如果我们定义掷骰子随机变量x值为x=1时为成功，所有x≠1为失败，这时我们反复掷骰子直到1出现3次（成功次数r=3），此时非1数字出现次数的概率分布即为负二项分布。

帕斯卡分布（Pascal distribution，来自Blaise Pascal）和波利亚分布（Polya distribution，又称罐子模型，来自George Pólya）均是负二项分布的特例。在工程，气候等领域中经常用“负二项分布”或“帕斯卡分布”来描述变量r为整数的情况，而使用“波利亚分布”来描述r取到实数值R的情况。

对于“传染性的”（"contagious"）的离散事件，例如龙卷风爆发，相比泊松分布，波利亚分布由于允许其平均值和方差不同，而能够给出更精确的模型。“传染性”的事件中，如果事件发生率相互独立，其发生率间的正相关性（即发生率间存在正协方差项）会导致变量分布有更大的方差。

“负二项分布”与“二项分布”的区别在于：“二项分布”是固定试验总次数N的独立试验中，成功次数k的分布；而“负二项分布”是所有到r次成功时即终止的独立试验中，失败次数k的分布。

定义

若每次伯努利试验有两种可能的结果，分别为成功或者失败。在每次试验中，成功的概率为p，失败的概率为（1-p）。反复进行该伯努利试验，直到观察到第r次成功发生。此时试验失败次数$X$的分布即为负二项分布（或称帕斯卡分布），那么：

若随机变量$\mathit{X}$服从参数为$\mathit{r}$和$\mathit{p}$的负二项分布，则记为$X \sim NB(r,p)$.

在实际生活中，我们可以使用负二项分布描述某种机器在坏掉前，能够工作的天数的分布。此时，“成功”的事件可以指机器正常工作一天，“失败”的事件可以指机器故障的一天。如果我们使用负二项分布来描述运动员在获取r个奖牌前尝试的次数的分布，此时，“失败”的事件指运动员的一次尝试，“成功”的事件指运动员获取一枚奖牌。如果使用负二项分布来描述掷一枚硬币出现r次正面前，出现硬币反面的次数的分布，“成功”的事件指出现硬币的正面，“失败”的事件指出现硬币的反面。

概率质量函数

帕斯卡分布

当$r$是整数时的负二项分布又称帕斯卡分布，其概率质量函数为：

$f(k; r, p) \equiv \Pr(X = k) = \binom{k+r-1}{r-1} p^r(1-p)^k \quad\text{for }k = 0, 1, 2, \dotsc$

其中k是失败的次数，r是成功的次数，p是事件成功的概率。在负二项分布的概率质量函数中，由于k+r次伯努利试验为独立同分布，每个成功r次、失败k次的事件的概率为(1 − p)^kp^r。由于第r次成功一定是最后一次试验，所以应该在k+r-1次试验中选择r-1次成功，使用排列组合二项系数获取所有可能的选择数。

二项系数与负二项名称来源

括号中为二项式系数表达式：

$\binom{k+r-1}{r-1} = \frac{(k+r-1)!}{(k)!\,(r-1)!} = \frac{(k+r-1)(k+r-2)\dotsm(r)}{(k)!}$

该表达式可以写成带负值参数的二项系数的形式，如下式所示，解释了“负二项”名称的来源：

$\begin{align} & \frac{(k+r-1)\dotsm(r)}{k!} \\[6pt] = {}& (-1)^k \frac{(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm(-r-k+1)}{k!} = (-1)^k\binom{-r}{k}. \end{align}$

概率质量函数对所有可能k值求和为1

帕斯卡分布概率质量函数f(k;r,p)对所有可能k值求和，一定等于1：

$\sum_{k=0}^\infty \binom{k+r-1}{k}p^r q^k = 1$

证明如下：

$1= p^r p^{-r} = p^r(1-q)^{-r} = p^r\sum_{k=0}^\infty\binom{-r}{k}(-q)^k = p^r\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\binom{-r}{k}q^k = \sum_{k=0}^\infty \binom{k+r-1}{k}p^r q^k$

其中第三步用到了二项序列展开。

几何分布

取$r=1$，负二项分布等于几何分布。其概率质量函数为$f(k;1,p) = p \cdot (1-p)^k \!$。

例子

举例说，若我们掷骰子，掷到一即视为成功。则每次掷骰的成功率是1/6。要掷出三次一，所需的掷骰次数属于集合{ 3, 4, 5, 6, ... }。掷到三次一的掷骰次数是负二项分布的随机变数。要在第三次掷骰时，掷到第三次一，则之前两次都要掷到一，其机率为$(1/6)^3$。注意掷骰是伯努利试验，之前的结果不影响随后的结果。

若要在第四次掷骰时，掷到第三次一，则之前三次之中要有刚好两次掷到一，在三次掷骰中掷到2次1的机率为${3 \choose 3-1}\left({5\over6}\right)\left({1\over6}\right)^2$。第四次掷骰要掷到一，所以要将前面的机率再乘（1/6）：${(1+3)-1 \choose 3-1}\left({1\over6}\right)^3 \left({5\over6}\right)$。

参见

• 二项式分布
• 几何分布