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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 16 18 20 24 30 32 36 60 64 | |
e進制是以自然對數的底數——e作為進位制底數的進制。類似於三進制,通常使用0、1、2三個數字來表達,但由於除了0、1和2之外大部分的整數在e進制中皆需要用無窮小數來表示,因此不是一個實用的進位制,但在底數經濟度模型中,e進制被認為是最高效率的進位制[1][2]。
性質
在e進制中,自然對數的行為與十進制中的常用對數類似[3],例如:
e進制效率
在底數經濟度模型中,e進制被認為是最高效率的進位制。
當一個數用進位()表達時,每個位數需要種符號表達,若要表達一個n位數字要儲存的元素 :
而進制系統中表示的n位數的資訊量()則有:
因此,在進制系統中以n位數能表示I的訊息量所需的存儲元質數為:
在
之下,求出哪個能使最小即可, 即找到能使微分為0的。
- 在時有根,
- 解得
因此解得以為底的進位制理論上能有最高的表達效率。
與其他進制比較
e進制中,除了0、1和2之外,其他整數皆需要以無窮不循環小數來表達,其中整數部分可透過貪婪演算法找出[4]。
十進制 | 二進制 | e進制 | 三進制 |
---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 10 | 2 | 2 |
3 | 11 | 10.0200 1120 0001 0101 | 10 |
4 | 100 | 11.0200 1120 0001 0101 | 11 |
5 | 101 | 12.0200 1120 0001 0101 | 12 |
6 | 110 | 20.1110 1110 2102 0120 | 20 |
7 | 111 | 21.1110 1110 2102 0120 | 21 |
8 | 1000 | 100.1120 1011 1100 0100 | 22 |
9 | 1001 | 101.1120 1011 1100 0100 | 100 |
10 | 1010 | 102.1120 1011 1100 0100 | 101 |
11 | 1011 | 110.2101 0102 0201 2102 | 102 |
12 | 1100 | 111.2101 0102 0201 2102 | 110 |
無理數的e進制表示
常見無理數的e進制表示如下:
- π ≈ 10.1010 0202 0002 1111 2002 0101 1200 0101 ...(e) (OEIS中的數列A050948)
- e = 10(e) (在此計數系統為整數)
- √2 ≈ 1.1002 1101 1011 1211 2000 1121 0000 0001 ...(e)
- φ = (1+√5)/2 ≈ 1.1120 2012 1110 0100 2000 0201 2001 1100 ...(e) (OEIS中的數列A105166)
參見
參考文獻
- ↑ 田崎三郎. 『三』 の研究. 松山大學論集. 2011, 23 (3): 5––34.
- ↑ Hayes, Brian, Third base, American Scientist, 2001, 89 (6): 490–494 [2019-06-17], doi:10.1511/2001.40.3268
- ↑ Weird Number Bases. DataGenetics. [2018-02-01].
- ↑ Bryan Jacobs, Sloane, N.J.A. (編). Sequence A105116 (The part of n left of the decimal point when written in base e). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.