e进位

$e$ 进制是以自然对数的底数——e作为进位制底数的进制。类似于三进制，通常使用0、1、2三个数字来表达，但由于除了0、1和2之外大部分的整数在e进制中皆需要用无穷小数来表示，因此不是一个实用的进位制，但在底数经济度模型中，e进制被认为是最高效率的进位制^[1]^[2]。

性质

在e进制中，自然对数的行为与十进制中的常用对数类似^[3]，例如：

\ln 1_{\left(e\right)} = 0

\ln 10_{\left(e\right)} = 1

\ln 100_{\left(e\right)} = 2

\ln 1000_{\left(e\right)} = 3

在底数经济度模型中，e进制被认为是最高效率的进位制。

当一个数用 $x$ 进位（ $x>0, x \in \mathbb{R}$ ）表达时，每个位数需要 $x$ 种符号表达，若要表达一个n位数字要储存的元素 $N(x)$ ：

N(x) = nx

而 $x$ 进制系统中表示的n位数的资讯量 $I$ （ $I>x$ ）则有：

I = x^n \Leftrightarrow n = \log_{x}I = \frac{\ln I}{\ln x}

因此，在 $x$ 进制系统中以n位数能表示I的信息量所需的存储元素数 $N(x)$ 为：

N(x) = nx = \ln I \cdot \frac{x}{\ln x}

在

{\displaystyle \begin{cases} N^{\prime}(x) <0 & 0<x<1 \\ N^{\prime}(x) >0 &x>1 \end{cases} }

之下，求出哪个 $x$ 能使 $N(x)$ 最小即可，即找到能使 $N(x)$ 微分为0的 $x$ 。

{\displaystyle \begin{align} N^\prime(x) & = \ln I \cdot \left( \frac{x}{\ln x} \right)^\prime \\ & = \ln I \cdot \frac{\ln x - 1}{\left( \ln x \right)^2} \\ \end{align} }

在

\ln x = 1

时

N^\prime(x)

N^\prime(x) = 0

，

解得

x = e

因此解得以 $e$ 为底的进位制理论上能有最高的表达效率。

e进制中，除了0、1和2之外，其他整数皆需要以无穷不循环小数来表达，其中整数部分可透过贪婪算法找出^[4]。

常见无理数的e进制表示如下：

π ≈ 10.1010 0202 0002 1111 2002 0101 1200 0101 ..._(e) （OEIS中的数列A050948）
e = 10_(e) （在此计数系统为整数）
√2 ≈ 1.1002 1101 1011 1211 2000 1121 0000 0001 ..._(e)
φ = (1+√5)/2 ≈ 1.1120 2012 1110 0100 2000 0201 2001 1100 ..._(e) （OEIS中的数列A105166）

↑ 田崎三郎. 『三』の研究. 松山大学论集. 2011, 23 (3): 5––34.
↑ Hayes, Brian, Third base, American Scientist, 2001, 89 (6): 490–494 [2019-06-17], doi:10.1511/2001.40.3268
↑ Weird Number Bases. DataGenetics. [2018-02-01].
↑ Bryan Jacobs, Sloane, N.J.A. (编). Sequence A105116 (The part of n left of the decimal point when written in base e). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.