米迪定理

米迪定理说明如果将$\frac{a}{p}$化为b进制小数（其中p为素数，a是小于p的正整数），且小数的循环节长度是偶数，则有以下性质：

• 若将这个分数用循环小数写成$0.\overline{a_1a_2a_3...a_na_{n+1}...a_{2n}}$，则
• $a_i+a_{i+n}=b-1$
• $a_1\dots a_n+a_{n+1}\dots a_{2n}=b^n-1.$

这个定理还可再推广为广义米迪定理：若把长度2n的循环节划分为长度为k的$\frac{2n}{k}$个组，即$0.\overline{a_1a_2\cdots a_ka_{k+1}\cdots a_{2k}\cdots a_{2n-k+1}a_{2n-k+2}\cdots a_{2n}}$，则$a_1a_2...a_k + a_{k+1}a_{k+2} ... a_{2k} + ... + a_{2n-k+1}a_{l-k+2}...a_{2n}$是$b^k-1$的倍数。

例

$\frac{1}{17}=0.\overline{0588235294117647}$（10进制）

循环节长度是16，是偶数，可应用米迪定理。

• 0+9=10-1，5+4=10-1，8+1=10-1……
• $05882352+94117647=10^8-1$

$\frac{1}{19}=0.\overline{052631578947368421}$（10进制）

循环节长度是18，是偶数，可应用米迪定理。

• 0+9=10-1，5+4=10-1，2+7=10-1……
• $052631578+947368421=10^9-1$
• $052631+578947+368421=10^6-1$（广义米迪定理，k=6）
• $052+631+578+947+368+421=2997=3\times (10^3-1)$（广义米迪定理，k=3）

$\frac{1}{19}=0.\overline{032745}_8$

• $032_8+745_8=777_8$
• $03_8+27_8+45_8=77_8.$

定理的证明

米迪定理可以用群论中的结果来证明。然而，也可以用算术和同余来证明米迪定理：

设p为素数，a/p是0与1之间的分数。假设在b进制中，a/p的展开式的周期为l，所以：

$\frac{a}{p}=[0.\overline{a_1a_2\dots a_l}]_b$

$\Rightarrow\frac{a}{p}b^l=[a_1a_2\dots a_l.\overline{a_1a_2\dots a_l}]_b$

$\Rightarrow\frac{a}{p}b^l=N+[0.\overline{a_1a_2\dots a_l}]_b=N+\frac{a}{p}$

$\Rightarrow\frac{a}{p}=\frac{N}{b^l-1}$

其中N是在b进制中的展开式为a₁a₂...a_l的整数。

因为$\frac{a}{p}(b^l-1)=N$且N为整数，所以$b^l-1$必为p的倍数。另外，对于任何小于l的n，bⁿ−1都不是p的倍数，否则在b进制中a/p的周期将小于l，这是不可能的。

现在，假设l=hk。那么b^l−1是b^k − 1的倍数。设b^l − 1 = m(b^k − 1)，因此：

$\frac{a}{p}=\frac{N}{m(b^k-1)}.$

但b^l−1是p的倍数；b^k−1不是p的倍数（因为k小于l）；且p是素数；因此m一定是p的倍数，且

$\frac{am}{p}=\frac{N}{b^k-1}$

是整数。也就是说：

$N\equiv0\pmod{b^k-1}.$

现在，把a₁a₂...a_l分成h个长度为k的部分，并设它们在b进制中表示N₀...N_h − 1，所以：

$N_{h-1}=[a_1\dots a_k]_b$

$N_{h-2}=[a_{k+1}\dots a_{2k}]_b$

$.$

$.$

$N_0=[a_{l-k+1}\dots a_l]_b$

为了证明b进制中广义的米迪定理，我们必须证明h个整数N_i的和是b^k − 1的倍数。

由于b^k被b^k−1除余1，任何b^k的幂被b^k − 1除也余1。因此：

$N=\sum_{i=0}^{h-1}N_ib^{ik}=\sum_{i=0}^{h-1}N_i(b^{k})^i$

$\Rightarrow N \equiv \sum_{i=0}^{h-1}N_i \pmod{b^k-1}$

$\Rightarrow \sum_{i=0}^{h-1}N_i \equiv 0 \pmod{b^k-1}$

这就证明了b进制中广义的米迪定理。

为了证明原先的米迪定理，取h = 2的特殊情况。注意N₀和N₁在b进制中都由k个数字表示，所以都满足

$0 \leq N_i \leq b^k-1.$

N₀和N₁不能都等于0（否则a/p = 0），也不能都等于b^k − 1（否则a/p = 1），因此：

$0 < N_0+N_1 < 2(b^k-1)$

由于N₀ + N₁是b^k − 1的倍数，所以有：

$N_0+N_1 = b^k-1.$

参考资料

William G. Leavitt. A THEOREM ON REPEATING DECIMALS. The American Mathematical Monthly. 1967年6月, 74 (6): 669–673 [2014-12-29]. 

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Midy's Theorem. MathWorld.