简谐运动

简谐运动，或称简谐振动、谐振、SHM（Simple Harmonic Motion），即是最基本也是最简单的一种机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受的力（或物体的加速度）的大小与位移的大小成正比，并且力（或物体的加速度）总是指向平衡位置。

如果用F表示物体受到的回复力，用x表示物体对于平衡位置的位移，根据胡克定律，F和x成正比，它们之间的关系可用下式来表示：

$F=-kx$

式中的k是回复力与位移成正比的比例系数；负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。

根据牛顿第二定律“$F=ma$”当物体质量一定时，运动物体的加速度总跟物体所受合力的大小成正比，跟合力的方向相同，且系统的机械能守恒。

动力学方程

Simple harmonic motion shown both in real space and phase space. The orbit is periodic. (Here the velocity and position axes have been reversed from the standard convention to align the two diagrams)

对于一维的简谐振动，其动力学方程是二阶微分方程，可由牛顿第二运动定律得到

$F=ma=m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}=m\ddot x$

回复力又可表示为$F=-kx$

所以有$\ddot x+\frac{k}{m}x=0$

求解上述方程，得到的的解含有正弦函数

$x(t) = c_1\cos\left(\omega t\right) + c_2\sin\left(\omega t\right) = A\cos\left(\omega t - \varphi\right)$，其中

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}},$

$A = \sqrt{{c_1}^2 + {c_2}^2},$

$\tan \varphi = \left(\frac{c_2}{c_1}\right),$

$c_1$，$c_2$是由初始条件决定的常数。取平衡位置为原点，每项都有物理意义：$A$是振幅，ω = 2πf是角频率， 加速度可以作为时间的函数得到

$v(t) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = - A\omega \sin(\omega t-\varphi)$

$v_{max}=\omega A$（在平衡位置）

$a(t) = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = - A \omega^2 \cos( \omega t-\varphi)$

$a_{max}=\omega^2 A$（在最大位移处）

加速度也可以通过位移的函数得到

$a(x) = -\omega^2 x\!$。

因为 $\omega = 2 \pi f$，

$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$，

又因为周期 $T = \frac{1}{f}$，所以：$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$。

以上方程说明了简谐振动具有等时性，即一个做简谐振动的质点运动周期和振幅以及相位无关。

线性回复力

在运动过程中，物体所受力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。

弹簧子

将一个有孔小球体与一个弹簧连在一在运动过程中，物体所受力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。平杆穿入小球体，使球体可以在水平杆上左右滑动，而球体与水平杆的摩擦力小得可以忽略不计。将弹簧的一端固定住，弹簧的整体质量要比球体质量小得多，这样弹簧本身质量也可以忽略不计。这个系统便是一个弹簧振子。

弹簧振子系统在平衡状态下，弹簧没有形变，振子（小球体）在平衡位置保持静止。若把振子拉过平衡位置，到达最大幅度，再松开，弹簧则会将振子向平衡位置收回。在收回的过程中，弹簧的势能转换为振子的动能，势能在降低的同时，动能在增加。当振子到达平衡位置时，振子所积累的动能又迫使振子越过平衡位置，继续向同样的方向移动。但因已越过弹簧振子系统的平衡位置，所以这时弹簧开始对振子向相反方向施加力。动能转作势能，动能降低，势能上升，直至到达离平衡位置最大幅度的距离。这时振子所有的动能被转化为势能，振子速度为零，停止运动。势能又迫使振子移回平衡位置，在移动过程中，势能转为动能，因而再次越过平衡位置，重复这个过程。在没有任何其他力影响的完美的条件下，这个弹簧振子系统会在两个最大幅度点间不停地做往返运动。弹簧振子的固有周期和固有频率与弹簧弹力系数和振子质量有关，与振幅大小无关。

振幅、周期和频率

1.振幅

振幅A代表质点偏离中心（平衡位置）的最大距离，它正比于$\sqrt{E}$，即它的平方正比于系统的机械能E。

2.角频率

角频率：$\omega=2 \pi f$, 频率f为周期T的倒数。

其中$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$。推导过程：

$x=A\cos ({ \omega t + \phi })$

对于时间t求导， $v=-A\omega\sin ({\omega t + \phi})$

再关于时间t求导，$a=-A\omega^2\cos ({ \omega t + \phi })$

由牛顿第二定律得$a = \frac {F}{m} = \frac {-kx}{m} = \frac {-A\cos ({ \omega t + \phi })k}{m}$

两式联立得$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$。

下图为简谐运动的图像，表示的是振动物体的位移随时间变化的规律。是一条正弦或余弦曲线。

这个运动是假设在没有能量损失引致阻尼的情况而发生。振幅描绘了振动的强弱，是标量，大小为最大位移的大小，质点在一次全振动过程中通过的路程等于4倍振幅。完成一次全振动的时间叫周期，单位时间内完成全振动的次数叫频率，周期和频率描绘了振动的快慢。

简谐振动的判定

1. 如果一个质点在运动中所受的合外力是一个简谐力

   $F = - k x$

   即合外力的大小与位移成正比且方向相反，那么我们称这个质点的运动是简谐振动。在弹簧振子模型中，比例系数$k$即为弹簧系数，或称倔强系数（劲度系数）。
2. 如果一个质点的运动方程有如下形式

   $x = A \cos{( \omega t + \phi)}$

   即，质点的位移随时间的变化是一个简谐函数，显然此质点的运动为简谐振动。
3. 如果一个质点的动力学方程可以写成

   $a + \omega^2 x = 0$

   其中$\omega^2$为正的实数。则质点的运动是一个简谐振动
4. 如果质点在运动过程中具有形式为$( \frac{1}{2} k x^2)$的势能，且

   $\frac {1}{2} m v^2 + \frac {1}{2} k x^2 = E$

   则质点的运动为简谐振动

应该说明：

1. 以上各判定方法是完全等价的；
2. 以上各表达式中的$x$既可以是线量（线位移），又可以是角量（角位移），相应的，速度可以为线速度和角速度，对应的加速度是线加速度和角加速度。

例子

弹簧

把质量为M的物体悬挂在劲度系数为k的弹簧的底端，则物体将进行简谐运动，其方程为：

$\omega=2 \pi f = \sqrt{\frac{k}{M}}.\,$

如果要计算它的周期，可以用以下的公式：

$T= \frac{1}{f} = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{k}}$。

总能量是常数，由方程$E = \frac{kA^2}{2}$给出。

匀速圆周运动

匀速圆周运动的一维投影是简谐运动。如果物体以$\omega$的角速率沿着半径为$R$的圆移动，则它在x轴、y轴或任意一条直径上的投影会是简谐运动，其振幅为$R$，角速率为$\omega$。

单摆

在偏角不太大的情况（一般认为小于5°）下，单摆的运动可以近似地视为简谐运动。如果单摆的长度为$\ell$，重力加速度为$g$，则周期为：

$T= 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$

这个公式仅当偏角很小时才成立，因为角加速度的表达式是与位置的正弦成正比的：

$\ell m g \sin(\theta)=I \alpha$

其中I是转动惯量，在这种情况下$I = m\ell^2$。当$\theta$很小时，$\sin(\theta) \approx \theta$，因此上式变为：

$\ell m g \theta=I \alpha$

这使得角加速度与$\theta$成正比，满足了简谐运动的定义。单摆的回复力是摆球的重力沿运动方向的分力。

参阅

• 平移运动
• 匀速运动
• 平抛运动
• 曲线运动

外部链接

• 弹簧震动Java模拟