真约数和

在数论中，整数的真约数和又称真因子和是指该整数的所有真约数之和，即除了自己本身外的所有正约数之和，通常以$s(n)$来表示：

$s(n)=\sum_{d|n,\ d\ne n}d.$

真约数和可以用来描述素数、完全数、亏数、过剩数和不可及数，也可以用于定义整数的真约数和数列。

真约数和函数$s(n)$与1次除数函数$\sigma_1(n)$的关系仅差$n$：

$s(n)=\sigma_1(n)-n$

例子

以12为例，12的真约数（即除了自己本身外的所有正约数）有$、 $、 $、 4和6，则其真约数和为解析失败 (转换错误。服务器（“cli”）报告：“[INVALID]”): {\displaystyle <strong class="error"><span class="scribunto-error" id="mw-scribunto-error-0">Lua错误 在Module:Complex_Number/Calculate的第953行：attempt to concatenate field &#039;name&#039; (a nil value)</span></strong> = <strong class="error"><span class="scribunto-error" id="mw-scribunto-error-1">Lua错误 在Module:Complex_Number/Calculate的第953行：attempt to concatenate field &#039;name&#039; (a nil value)</span></strong> }

前几个整数的真约数和$s(n)$，n = 1, 2, 3, …… 为：

$、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 $、 21 …… （OEIS中的数列A001065）

数字类别的性质

真约数和函数可以用来区分几个特别的数字类别：

• 1是唯一一个真约数和为0的正整数。如果一个正整数真约数和为1则代表该数是一个素数
• 完全数的真约数和等于本身、亏数的真约数和小于本身、过剩数的真约数和大于本身。准完全数（如果存在的话）真约数和为n+1。殆完全数（目前已知仅有2的幂）真约数和为n-1。
• 不可及数是指不是任何数之真约数和的数。相关研究至少可以追溯到大约公元1000年伊本·塔希尔·巴格达迪的研究，其发现2和5都是不可及数，埃尔德什·帕尔证明了其有无限多个。目前尚未确定5是否为唯一的奇数不可及数，但可以从哥德巴赫猜想的一种形式与半素数pq的真约数和为p+q+1的观察得出。

数学家保罗·波拉克（Paul Pollack）和卡尔·帕梅朗斯指出，埃尔德什·帕尔“最喜欢的研究项目”是真约数和。

迭代

主条目：真因子和数列

迭代真约数和函数可以产生非负整数的真约数和数列n, s(n), s(s(n)), ...（在这个数列中，我们定义s(0) = 0）。目前尚不清楚这些数列是否总是以素数、完全数或周期性的相亲数链为结尾。

参见

• 除数函数：一数之正约数的x次方和
• 纪尧姆·德奥贝里夫：中世纪的命理学家，对真约数和感兴趣

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Restricted Divisor Function. MathWorld.