平方差

  提示：此条目的主题不是差平方。

平方差公式是数学公式的一种，属于乘法公式、因式分解及恒等式，被普遍使用。平方差指一个平方数减去另一个平方数得来的乘法公式：

$a^2-b^2 = \left(a+b\right)\left(a-b\right)$

$(a+b)$及$(a-b)$的排列不是非常的重要，可随意排放。

验证

主验证

平方差可利用因式分解及分配律来验证：

$\begin{align} a^2-b^2 &=a^2-0-b^2 \\ &=a^2-(ab-ba)-b^2 \\ &=a^2-ab+ba-b^2 \\ &=(a^2-ab)+(ba-b^2) \\ &=a(a-b)+b(a-b) \\ &=(a-b)(a+b) \\ \end{align}$

方格验证

平方差能使用表格方式来验证。

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

x)已知	$a$	$+b$
$a$	$a^2$	$+ab$
$-b$	$-ab$	$-b^2$

这样可验证出$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

几何验证

两个正方形和两个立方体之间差异的视觉证明

平方差可利用一个普通的平面图表验证出来。右图中，是正方形$a^2$减去正方形$b^2$，那即是$a^2 - b^2$。利用平方差，计算出阴影部分的面积就是$(a+b)(a-b)$。

方法一

根据右图，可先将阴影部分分割成三部分，分别为：

• $b(a-b)\,\!$
• $(a-b)^2\,\!$是灰正方
• $b(a-b)\,\!$

然后，将三部分加起：

$b(a-b)+(a-b)^2+b(a-b)\,\!$

$=ab-b^2+a^2-2ab+b^2+ab-b^2\,\!$

$=ab+ab-2ab-b^2+b^2+a^2-b^2\,\!$

$=a^2-b^2\,\!$

• 注：$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$运用了差平方。

方法二

与方法一差不多，先将阴影部分分割为两部分，分别为：

• $a(a-b)\,\!$大长方
• $b(a-b)\,\!$小长方

然后，将两部分加起：

$a(a-b)+b(a-b)\,\!$

$=a^2-ab+ab-b^2\,\!$

$=a^2-b^2\,\!$

例子

例子一

$x^2-16\,\!$

计算此公式，必须把两个数项都转为平方。并得：

$=x^2-4^2\,\!$

$=(x-4)(x+4)\,\!$

例子二

$16m^2-81n^2\,\!$

计算此公式，同样地把两个数项转为平方。并得：

$=(4m)^2-(9n)^2\,\!$

$=(4m-9n)(4m+9n)\,\!$

例子三

$4y^2-36z^2\,\!$

计算此公式，虽$4y^2$及$36z^2$的开方分别是$2y$及$6z$，但最好的方法是先抽出公因子，并得：

$=4(y^2-9z^2)\,\!$

同样地把两个数项转为平方，并得：

$=4\left[y^2-(3z)^2\right]\,\!$

$=4(y-3z)(y+3z)\,\!$

例子四

$\frac{1}{x^4} - \frac{13}{x^2} + 36$

首先，可将该两个分数转成正数，并得：

$=x^{-4} - 13x^{-2} + 36\,\!$

$=(x^{-2})^2 - 13(x^{-2}) + 36\,\!$

运用因式分解的方法得出：

$=x^{-2} \times x^{-2} - 9(x^{-2}) - 4(x^{-2}) + 9 \times 4$

$=(x^{-2} - 4)(x^{-2} - 9) \,\!$

然后，把所有可被开方的数目转为平方数，并得到：

$= \left[(x^{-1})^2 - 2^2\right] \left[(x^{-1})^2 - 3^2\right]$

运用平方差并得出：

$=(x^{-1} - 2)(x^{-1} + 2)(x^{-1} - 3)(x^{-1} + 3) \,\!$

或

$= \left(\frac{1}{x} - 2\right) \left(\frac{1}{x} + 2\right) \left(\frac{1}{x} - 3\right) \left(\frac{1}{x} + 3\right) \,\!$

运用

用平方差代替整数相乘

某些特别的整数相乘，能巧妙地使用平方差来计算，并可减省复杂的计算步骤。

例子一，两个数项都分别是$10^n$的$+x$及$-x$：

• $10\times 10 = (10-0)(10+0) = 10^2 - 0^2 = 100 - 0 = 100$
• $7\times13 = (10-3)(10+3) = 10^2 - 3^2 = 100 - 9 = 91$
• $95\times105 = (100-5)(100+5) = 100^2 - 5^2 = 10,000 - 25 = 9,975$
• $99,994\times100,006 = (100,000-6)(100,000+6) = 100,000^2 - 6^2 = 10,000,000,000 - 36 = 9,999,999,964$

例子二：第一个数项减去第2个数项，都是$10^n$：

• $14^2 - 4^2 = (14+4)(14-4) = 18\times 10 = 180 \,\!$
• $125^2 - 25^2 = (125+25)(125-25) = 150\times 100 = 15,000 \,\!$
• $1,750^2 - 750^2 = (1,750+750)(1,750-750) = 2,500\times 1,000 = 25,000,000 \,\!$
• $14,205^2 - 4,205^2 = (14,205+4,205)(14,205-4,205) = 18,410\times 10,000 = 184,100,000 \,\!$

例子三：运用分配律、平方差来计出以下很大而覆杂的数项：

• $3263 \times 3264 \times \left(\frac{3264}{3263} - \frac{3265}{3264}\right)$

下一步先运用分配律：

$=3263 \times 3264 \times \frac{3264}{3263} - 3263 \times 3264 \times \frac{3265}{3264}$

并把所有相同数项约简，并得：

$=3264^2 - 3263 \times 3265$

运用平方差，并得：

$=3264^2 - (3264 - 1)(3264 + 1) \,\!$

$=3264^2 - (3264^2 - 1^2) \,\!$

$=3264^2 - 3264^2 + 1 \,\!$

$=1 \,\!$

错误运用

很多人混淆了平方差、差平方，除了文字上外，不少人都错误计算。

$a^2-b^2 = \left(a+b\right)\left(a-b\right)$
$a^2-b^2 = (a-b)^2\,\!$	N

• 注：$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ ，详见差平方

数论性质

因为平方数除以4的余数衹能是0或1，所以两个整数的平方差模4余0、1或3。另一方面，

$(k+1)^2 - (k-1)^2 = 4k$

说明模4余0的数皆可写成平方差，而

$(k+1)^2 - k^2 = 2k+1$

说明模4余1或3的数（奇数）可以写成平方差。

内部链接

• 乘法公式
• 因式分解
• 恒等式
• 乘法
• 平方
• 平方数

外部链接

• Factoring the Difference of Two Squares
• Difference between 2 squares