邏輯異或

  「異或」和「互斥或」均重新導向至此。關於邏輯門，請見「異或門」。

$\begin{smallmatrix} p \oplus q \end{smallmatrix}$ 的文氏圖

在数位邏輯中，邏輯算符異或門（exclusive or）是對兩個運算元的一種邏輯分析類型。與一般的邏輯或不同，當兩兩數值相同為否，而數值不同時為真。

對於命題 $p, q$，$p$異或$q$通常記作$p \operatorname{XOR} q$或$p \oplus q$。在程式語言中，常寫作p ^ q。

真值表

異或運算$p \oplus q$的真值表如下：

$p$	$q$	$p \oplus q$
True	True	False
True	False	True
False	True	True
False	False	False
註：True：真，False：假。

無論怎樣改變同一行中$p, q, p \oplus q$的位置，真值表都是成立的。

其他表示

在數學和工程學中，常常用其他的邏輯運算子來表示異或算符。異或算符可以使用邏輯算符邏輯與$\land$，邏輯或$\lor$和邏輯非$\lnot$表示為：

$\begin{align} p \oplus q & = (p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q) = p\overline{q} + \overline{p}q \\ & = (p \lor q) \land (\lnot p \lor \lnot q) = (p+q)(\overline{p}+\overline{q}) \\ & = (p \lor q) \land \lnot (p \land q) = (p+q)(\overline{pq}) \end{align}$

另外，異或算符可以被推廣，得到關於n個運算元的異或運算：n個運算元的n維異或的值為真若且唯若其中值為真的運算元有奇數個。

異或也可以被表示為：

$p \oplus q = \lnot ((p \land q) \lor (\lnot p \land \lnot q))$

異或還可以看作是邏輯等價關係的非運算。

性質

交換律：$p \oplus q = q \oplus p$

結合律：$p \oplus (q \oplus r) = (p \oplus q) \oplus r$

恆等律：$p \oplus 0 = p$

歸零律：$p \oplus p = 0$

自反：$p \oplus q \oplus q = p\oplus 0 = p$

與近世代數的聯絡

儘管算子$\wedge$（邏輯合取）與$\lor$（邏輯析取）是邏輯系統中最為常見的算子，但結構上，系統$(\{T, F\}, \wedge)$ and $(\{T, F\}, \lor)$只是么半群。因此，這兩個系統無法合成為一個更大的結構，比如環或半環。

但是，帶有邏輯異或的系統$(\{T, F\}, \oplus)$是一個交換群。因此，算子$\wedge$與$\oplus$的結合在集合$\{T, F\}$上作用就產生了最基本的二元域$F_2$。這個域可以得出所有運用$(\land, \lor)$可以得到的結果，並且由於附帶了域的結構，可以進行代數上的進一步分析。

類似符號

名稱	符號	Unicode	圖形	符號的來源
地球	🜨	U+2295		帶有赤道和一條經線的球體

使用異或運算交換兩個 int 類型變數的數值

public void switch(int &a, int &b) {
    a = a ^ b;
    b = a ^ b;
    a = a ^ b;
}

參見

• 異或門
• 異或密碼