逻辑异或

  “异或”和“互斥或”均重定向至此。关于逻辑门，请见“异或门”。

$\begin{smallmatrix} p \oplus q \end{smallmatrix}$ 的文氏图

在数字逻辑中，逻辑算符异或门（exclusive or）是对两个运算元的一种逻辑分析类型。与一般的逻辑或不同，当两两数值相同为否，而数值不同时为真。

对于命题 $p, q$，$p$异或$q$通常记作$p \operatorname{XOR} q$或$p \oplus q$。在编程语言中，常写作p ^ q。

真值表

异或运算$p \oplus q$的真值表如下：

$p$	$q$	$p \oplus q$
True	True	False
True	False	True
False	True	True
False	False	False
注：True：真，False：假。

无论怎样改变同一行中$p, q, p \oplus q$的位置，真值表都是成立的。

其他表示

在数学和工程学中，常常用其他的逻辑运算符来表示异或算符。异或算符可以使用逻辑算符逻辑与$\land$，逻辑或$\lor$和逻辑非$\lnot$表示为：

$\begin{align} p \oplus q & = (p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q) = p\overline{q} + \overline{p}q \\ & = (p \lor q) \land (\lnot p \lor \lnot q) = (p+q)(\overline{p}+\overline{q}) \\ & = (p \lor q) \land \lnot (p \land q) = (p+q)(\overline{pq}) \end{align}$

另外，异或算符可以被推广，得到关于n个运算元的异或运算：n个运算元的n维异或的值为真当且仅当其中值为真的运算元有奇数个。

异或也可以被表示为：

$p \oplus q = \lnot ((p \land q) \lor (\lnot p \land \lnot q))$

异或还可以看作是逻辑等价关系的非运算。

性质

交换律：$p \oplus q = q \oplus p$

结合律：$p \oplus (q \oplus r) = (p \oplus q) \oplus r$

恒等律：$p \oplus 0 = p$

归零律：$p \oplus p = 0$

自反：$p \oplus q \oplus q = p\oplus 0 = p$

与近世代数的联系

尽管算子$\wedge$（逻辑合取）与$\lor$（逻辑析取）是逻辑系统中最为常见的算子，但结构上，系统$(\{T, F\}, \wedge)$ and $(\{T, F\}, \lor)$只是幺半群。因此，这两个系统无法合成为一个更大的结构，比如环或半环。

但是，带有逻辑异或的系统$(\{T, F\}, \oplus)$是一个交换群。因此，算子$\wedge$与$\oplus$的结合在集合$\{T, F\}$上作用就产生了最基本的二元域$F_2$。这个域可以得出所有运用$(\land, \lor)$可以得到的结果，并且由于附带了域的结构，可以进行代数上的进一步分析。

类似符号

名称	符号	Unicode	图形	符号的来源
地球	🜨	U+2295		带有赤道和一条经线的球体

使用异或运算交换两个 int 类型变量的数值

public void switch(int &a, int &b) {
    a = a ^ b;
    b = a ^ b;
    a = a ^ b;
}

参见

• 异或门
• 异或密码