同態

抽象代數中，同態是兩個代數結構（例如群、環、或者向量空間）之間的保持結構不變的映射。英文的同態(homomorphism)來自希臘語:ὁμός (homos)表示"相同"而μορφή (morphe)表示"形態"。注意相似的詞根ὅμοιος (homoios)表示"相似"出現在另一個數學概念同胚的英文(homeomorphism)中。

非正式表述

因為抽象代數研究帶有能產生有意義的集合上的結構或者屬性的運算的集合，最有意義的函數就是能夠保持這些運算不變的那些。它們被稱為同態。

例如，考慮帶加法運算的自然數。保持加法不變的函數有如下性質：f(a + b) = f(a) + f(b).例如f(x) = 3x就是這樣的一個同態，因為f(a + b) = 3(a + b) = 3a + 3b = f(a) + f(b)。注意這個同態從自然數映射回自然數。

同態不必從集合映射到帶相同運算的集合。例如，存在保持運算的從帶加法的實數集到帶乘法的正實數集。保持運算的函數滿足：f(a + b) = f(a) * f(b)，因為加法是第一個集合的運算而乘法是第二個集合的運算。指數定律表明f(x) = e^x滿足如下條件 : 2 + 3 = 5變為e² * e³ = e⁵.

同態的一個特別重要的屬性是如果單位元存在，它將被保持，也即，被映射為另一個集合中的單位元。注意第一個例子中f(0) = 0,而零是加法單位元。第二個例子中，f(0) = 1，因為0是加法單位元，而1是乘法單位元。

若考慮集合上的多個運算，則保持所有運算的函數可以視為同態。雖然集合相同，相同的函數可以是群論（只考慮帶一個運算的集合）中的同態，而非環論（帶兩個相關運算的集合）中的同態，因為它可能不保持環論中需要的另外那個運算。

形式化定義

同態是從一個代數結構到同類代數結構的映射，它保持所有相關的結構不變；也即，所有諸如單位元、反元素、和二元運算之類的屬性不變。

注意：有些作者在更廣的意義下使用同態一詞，而不僅是在代數中。有些人將它作為任何保持結構的映射的名稱（例如拓撲學上的連續函數），或者抽象的一般稱為範疇論中的態射的映射。本條目只考慮代數學上的同態。更廣義的用法請參看態射條目。

例如，考慮兩個有單一二元運算的集合$X$和$Y$(稱為原群的代數結構），同態就是映射$\phi: X \rightarrow Y$使得

$\phi(u \cdot v) = \phi(u) \circ \phi(v)$

其中$\cdot$是$X$上的運算而$\circ$是$Y$上的運算。

每類代數結構有它的同態。特定的定義參看：

• 群同態
• 環同態
• 模同態
• 線性算子（向量空間上的同態）
• 代數同態

同態的概念在研究所有代數結構共有的思想的泛代數中可以給一個形式化的定義。這個情況下，同態$\phi: A \rightarrow B$是兩個同類代數結構之間的映射，使得

$\phi(f_A(x_1, \ldots, x_n)) = f_B(\phi(x_1), \ldots, \phi(x_n))\,$

對於所有n元運算$f$和所有$A$中的$x_i$成立。

同態的類型

• 同構（isomorphism）：就是對射的同態。兩個物件稱為同構的，如果存在相互間的同構映射。同構的物件就其上的結構而言是無法區分的。
• 滿同態（epimorphism）：就是滿射的同態。
• 單同態（monomorphism）：（有時也稱擴張）是單射的同態。
• 雙同態（bimorphism）：若f既是滿同態也是單同態，則稱f為雙同態。
• 自同態（endomorphism）：任何同態f : X → X稱為X上的一個自同態。
• 自同構（automorphism）：若一個自同態也是同構的，那麼稱之為自同構。

上面的術語也適用於範疇論。但是範疇論中的定義更微妙一些：細節參看態射條目。

注意在保結構映射的意義下，定義同構為雙同態是不夠的。必須要求逆也是同類的態射。在代數意義上（至少在泛代數的意義下）這個額外的條件是自動滿足的。

各類同態之間的關係。
H = 同態的集合， M = 單同態的集合，
P = 滿同態的集合， S = 同構的集合，
N = 自同態的集合， A = 自同構的集合.
注意: M ∩ P = S, S ∩ N = A,
(M ∩ N) \ A 並且 (P ∩ N) \ A 只包含無限代數結構到自身的同態.

同態的核

主條目：核 (代數)

任意同態 f : X → Y 都定義了一個 X 上的等價關係 ~ 。 X 中元素 a ~ b 當且僅當 f(a) = f(b)。等價關係被稱為 f 的核。這個關係也是 X 上的一個同餘關係，因此在其商集 X/~ 上也可以自然地定義一個結構：[x] * [y] = [x * y]。這時，X 通過同態 f 在 Y 中的像必然同構於 X/~。這就是所謂的同構基本定理之一。注意到在有些情況下（比如說在群結構或環結構時），僅僅一個等價類 K 就可以決定商集的結構，因此這時我們可以將它記作 X/K（一般讀作 X 模 K ）。在這種情況下，一般將 K，而不是 ~，稱作 f 的核（參見正規子群和理想）。

關係結構的同態

模型論中，代數的結構推廣到同時涉及運算和關係的結構上。令L為由函數和關係符號組成的標識，而A,B為兩個L-結構。則從A到B的同態是映射h：從A的域到B的域，使得

• h(F^A(a₁,…,a_n)) = F^B(h(a₁),…,h(a_n))對於每個L中的n元函數符號F成立，
• R^A(a₁,…,a_n)推出R^B(h(a₁),…,h(a_n))對於每個L中的n元關係符號R成立。

在只有一個二元關係的特殊情況，這就是圖同態的概念。

同態和形式語言理論中的無單位元同態

同態也被用於形式語言的研究中。給定字母表$\Sigma_1$和$\Sigma_2$，函數h : $\Sigma_1^*$ → $\Sigma_2^*$使得$h(uv)=h(u)h(v)$對於所有$\Sigma_1^*$中的u和v成立，則稱為$\Sigma_1^*$上的同態.令e表示空詞。若h為$\Sigma_1^*$上同態，$h(x) \ne e$對於$\Sigma_1^*$上所有$x \ne e$成立，則h成為無單位元同態（e-free homomorphism）。

參看

• 態射
• 圖同態
• 連續函數
• 同胚
• 微分同胚
• 同態秘密共享 - 一種簡單的分佈式投票機制。

參考

免費在線專著：

• Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.